ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ

ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ

ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ (m) ಗೆ ಹೋಲುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ (I) ಆಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ವೇಗ (v) ಗೆ ಹೋಲುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಕೋನೀಯ ವೇಗ (ω) ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ತಿರುಗುವ ವಸ್ತುವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

ಎಲ್ = ಐ ω

L = ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (kg m ² /s), I = ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ (kg m ² ), ω = ಕೋನೀಯ ವೇಗ (rad/s)

ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆ 1.

0.5 ಗ್ರಾಂ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಣವು 2 ರಾಡ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ಸ್ಥಿರ ಕೋನೀಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕಣದ ಮಾರ್ಗದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 10 ಸೆಂ.ಮೀ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕಣದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಕಣದ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ:

I = ಶ್ರೀ ² = (0.5 x 10 ^-3 ಕೆಜಿ)(1 x 10 ^-1 ಮೀ) ² = (0.5 x 10 ^-3 ಕೆಜಿ)(1 x 10 ^-2 ಮೀ ² ) = 0.5 x 10 ^-5 ಕೆಜಿ ಮೀ ²

ಕಣದ ಕೋನೀಯ ವೇಗ:

ω = 2 ರಾಡ್/ಸೆ

ಕಣದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ:

L = (0.5 x 10 ^-5 ಕೆಜಿ ಮೀ ² )(2 ರಾಡ್/ಸೆ) = 1 x 10 ^-5 ಕೆಜಿ ಮೀ ² /ಸೆ

ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮ

ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಬಲದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ದೇಹದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಕುರಿತು ನ್ಯೂಟನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಸಮೀಕರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಲದ ಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಇದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ:

I _t = ಜಡತ್ವದ ಅಂತಿಮ ಕ್ಷಣ, I _o = ಜಡತ್ವದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ, ω _t = ಅಂತಿಮ ಕೋನೀಯ ವೇಗ, ω _o = ಆರಂಭಿಕ ಕೋನೀಯ ವೇಗ, L _t = ಅಂತಿಮ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ, L _o = ಆರಂಭಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ.

ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ನಿಯಮದ ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆ 1.

ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಘನ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 4 ರಾಡ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುತ್ತಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್‌ನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು 1 ಕೆಜಿ ಮತ್ತು 0.5 ಮೀ. ಪ್ಲೇಟ್‌ನ ಮೇಲೆ 0.2 ಕೆಜಿ ಮತ್ತು 0.1 ಮೀ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರವನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಉಂಗುರದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ,

ಡಿಸ್ಕ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮೇಲೆ, ಡಿಸ್ಕ್ ಮತ್ತು ಉಂಗುರವು ….. ನ ಕೋನೀಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

ಘನ ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ: I = 1/2 mr ² = 1/2 (1 ಕೆಜಿ)(0.5 ಮೀ) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 ಕೆಜಿ ಮೀ ²

ಉಂಗುರದ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ: I = ಶ್ರೀ ² = (0.2 ಕೆಜಿ)(0.1 ಮೀ) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 ಕೆಜಿ ಮೀ ²

ಆರಂಭಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (L ₁ ) = ಅಂತಿಮ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 ಕೆಜಿ ಮೀ ² )(4 ರಾಡ್/ಸೆ) = (0.125 ಕೆಜಿ ಮೀ ² + 0.002 ಕೆಜಿ ಮೀ ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 ರಾಡ್/ಸೆ

ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು

1. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಂದರೇನು?
   ಉತ್ತರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಆಕಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ.
2. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
   ಉತ್ತರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (L) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ $L=r\times p$ಅಲ್ಲಿ $r$ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಅಕ್ಷದಿಂದ ಅನ್ವಯ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ಸ್ಥಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು $p$ ರೇಖೀಯ ಆವೇಗ.
3. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವೇ?
   ಉತ್ತರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.
4. SI ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಘಟಕ ಯಾವುದು?
   ಉತ್ತರ: SI ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಘಟಕವು ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಕಿಲೋಗ್ರಾಂ-ಮೀಟರ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ (kg·m²/ಗಳು).
5. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
   ಉತ್ತರ: ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್‌ಗಳಿಲ್ಲದ ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
6. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ತತ್ವವೇನು?
   ಉತ್ತರ: ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರದ ಹೊರತು ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತತ್ವ ಹೇಳುತ್ತದೆ.
7. ಫಿಗರ್ ಸ್ಕೇಟರ್‌ನ ಸ್ಪಿನ್ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?
   ಉತ್ತರ: ಫಿಗರ್ ಸ್ಕೇಟರ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ತೋಳುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ದೇಹಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ಎಳೆದಾಗ, ಅವು ತಮ್ಮ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವು ವೇಗವಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.
8. ಟಾರ್ಕ್ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೇನು?
   ಉತ್ತರ: ಟಾರ್ಕ್ ($\tau$) ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ, τ=dಎಲ್/ಸೆಕೆಂಡು​.
9. ಕೋನೀಯ ವೇಗವಿಲ್ಲದೆ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?
   ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ, ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೋನೀಯ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಜಡತ್ವದ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.
10. ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ?
    ಉತ್ತರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (L) ಎಂಬುದು ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ (I) ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗ (ω) ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. US $L=I\omega$, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನೀಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.
11. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು?
    ಉತ್ತರ: ಸ್ಪಿನ್ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳಂತೆ ಕಣಗಳ ಆಂತರಿಕ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಕಣದ ಚಲನೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.
12. ಗ್ರಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಯಾವ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ?
    ಉತ್ತರ: ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಹಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಆಣ್ವಿಕ ಮೋಡವು ಕುಸಿದಂತೆ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯು ವಸ್ತುವನ್ನು ನವಜಾತ ನಕ್ಷತ್ರದ ಸುತ್ತಲಿನ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಗ್ರಹಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬಹುದು.
13. ಗೈರೊಸ್ಕೋಪ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ?
    ಉತ್ತರ: ತಿರುಗುವ ಗೈರೊಸ್ಕೋಪ್ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ ತನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಾಗ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಗೈರೊಸ್ಕೋಪ್ ಅನ್ವಯಿಕ ಟಾರ್ಕ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.
14. ಸ್ಪಿನ್ನಿಂಗ್ ಟಾಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಿಸೆಷನ್‌ಗೆ ಕಾರಣವೇನು?
    ಉತ್ತರ: ತಿರುಗುವ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಚಲನೆಯು ಮೇಲ್ಭಾಗದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕೇಂದ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಟಾರ್ಕ್‌ನಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಪಿವೋಟ್ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಟಾರ್ಕ್ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೂರ್ವಚಲನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
15. ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ತಮ್ಮ ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುತ್ತವೆ?
    ಉತ್ತರ: ನಕ್ಷತ್ರಗಳು ತಿರುಗುವಾಗ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವು ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊರಕ್ಕೆ ತಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಧ್ರುವಗಳಿಗಿಂತ ಸಮಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಅಥವಾ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
16. ಕೆಪ್ಲರನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?
    ಉತ್ತರ: ಕೆಪ್ಲರನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಗ್ರಹ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನ ಕಾಲಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿಹಾಕುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.
17. ಬೆಕ್ಕು ಬಿದ್ದಾಗ ಯಾವಾಗಲೂ ತನ್ನ ಕಾಲಿನ ಮೇಲೆ ಏಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ?
    ಉತ್ತರ: ಬೆಕ್ಕುಗಳು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ತಮ್ಮ ದೇಹಗಳನ್ನು ತಿರುಚುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಗಾಳಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸದೆಯೇ ಅವು ತಮ್ಮ ಪಾದಗಳ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯಲು ತಮ್ಮನ್ನು ಮರುನಿರ್ದೇಶಿಸಬಹುದು.
18. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಕಾಂತೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?
    ಉತ್ತರ: ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ನ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣವು ಅದರ ಸ್ಪಿನ್ ಮತ್ತು ಕಕ್ಷೀಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣವು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್‌ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
19. ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಂದರೇನು?
    ಉತ್ತರ: ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ $L$ ಒಂದು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು $L=mrv$ಅಲ್ಲಿ $m$ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, $r$ ತ್ರಿಜ್ಯೀಯ ದೂರ, ಮತ್ತು $v$ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೇಗವಾಗಿದೆ.
20. ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆದಾಗ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
    ಉತ್ತರ: ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು ಡಿಕ್ಕಿ ಹೊಡೆದಾಗ ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಡಿಕ್ಕಿಗೆ ಮುಂಚಿನ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಡಿಕ್ಕಿಯ ನಂತರದ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್‌ಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

1. ಸಮಸ್ಯೆ: m = 2 kg ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಒಂದು ಬಿಂದುವು r = 4 m ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ v = 3 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m ² /s

2. ಸಮಸ್ಯೆ: 3 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು 0.5 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ಘನ ಗೋಳವು ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತ ω = 2 ರಾಡ್/ಸೆ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ: ಘನ ಗೋಳಕ್ಕೆ, I = 2/5 ​m r ²

$ಎಲ್=ಐ\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. ಸಮಸ್ಯೆ: 3 ಕೆಜಿ ತೂಕದ ಒಂದು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು 4 ಮೀ/ಸೆಕೆಂಡ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ಚಲನೆಯ ರೇಖೆಯಿಂದ 5 ಮೀ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ:

$ಎಲ್=ಮೀ\times ವಿ\times ಆರ್$

ಎಲ್=3×4×5=60 ಕೆಜಿ.ಮೀ ² /ಸೆ

4. ಸಮಸ್ಯೆ: 5 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು 3 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಡಿಸ್ಕ್ 2 ರಾಡ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಡಿಸ್ಕ್‌ಗೆ, I = 1/2 ​m r ²

$ಎಲ್=ಐ\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. ಸಮಸ್ಯೆ: 4 ಮೀ ಉದ್ದ ಮತ್ತು 2 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ರಾಡ್ 3 ರಾಡ್/ಸೆ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತುದಿಯ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ತುದಿಯ ಸುತ್ತಳತೆಯಿರುವ ರಾಡ್‌ಗೆ, I = 1/3 ​m l ²

$ಎಲ್=ಐ\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. ಸಮಸ್ಯೆ: ತಿರುಗುವ ಕಾಯವು ಅದರ ಕೋನೀಯ ವೇಗವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (L) ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ವೇಗ (ω) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ $L=I\times \omega$ . ω ಅನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವೂ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

7. ಸಮಸ್ಯೆ: ಚಲಿಸುವ ಕಣದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾರ್ಗದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ವೇಗವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡರೆ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಯಾವ ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ, $L=m\times r\times v$ . r ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡರೆ, L ಕೂಡ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

8. ಸಮಸ್ಯೆ: 30 ಕೆಜಿ ತೂಕದ ಮಗು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಮೆರ್ರಿ-ಗೋ-ರೌಂಡ್‌ನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ. ಮೆರ್ರಿ-ಗೋ-ರೌಂಡ್‌ನ ತ್ರಿಜ್ಯ 2 ಮೀ. ಮಗುವು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 2 ಮೀ/ಸೆ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಓಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಗುವಿನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m ² /s

9. ಸಮಸ್ಯೆ: 6 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು 2 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ತನ್ನ ಕೇಂದ್ರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ 5 ರಾಡ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್‌ಗೆ, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ² ×5=120 ಕೆಜಿ.ಮೀ ² /ಸೆ

10. ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೋನೀಯ ವೇಗವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಹೊಸ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಎಷ್ಟು?

ಪರಿಹಾರ: $L=I\times \omega$ ನೀಡಿದರೆ , $I$ ಅನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿ $\omega$ ಅನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ $L$ ಮೂಲಕ್ಕೆ 1/2×3=1.5 × ಆಗಿರುತ್ತದೆ .

11. ಸಮಸ್ಯೆ: 2 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು 1 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಹೂಪ್ 4 ರಾಡ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಹೂಪ್‌ಗೆ, I = m r ²

$ಎಲ್=ಐ\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 ಕೆಜಿ.ಮೀ ² /ಸೆ

12. ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಂದು ಫ್ಯಾನ್ 0.5 ಮೀ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ 1 ಕೆಜಿ ಬ್ಲೇಡ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದು 10 ರಾಡ್/ಸೆ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಫ್ಯಾನ್ ಬ್ಲೇಡ್‌ಗಳು ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ರಾಡ್‌ಗಳಂತೆ ಇದ್ದರೆ, I =1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ² ×10=0.833 ಕೆಜಿ.ಮೀ ² /ಸೆ

13. ಸಮಸ್ಯೆ: ಭೂಮಿಯು ತನ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ತನ್ನ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಎಷ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ. ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಭೂಮಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ =5.972×10 ²⁴ ಕೆಜಿ , ತ್ರಿಜ್ಯ $r=6371\text{ಕಿಮೀ}$ , ω = 7.27 × 1 0 ⁻⁵ ರಾಡ್/ಸೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಭೂಮಿಯನ್ನು ಘನ ಗೋಳವೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. ಸಮಸ್ಯೆ: ಮಗುವು ತಿರುಗುವ ವೇದಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಯೇ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿಯುತ್ತದೆಯೇ?

ಪರಿಹಾರ: ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಗು ಕೇಂದ್ರದ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಜಡತ್ವದ ಆವೇಗ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು, ಕೋನೀಯ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

15. ಸಮಸ್ಯೆ: ತಿರುಗುವ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡರೆ, ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಯಾವ ಅಂಶದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ: ಚಲನ ಶಕ್ತಿ K = 1/2 ​I ω ² ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ $L=I\omega$ . ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡು $I$ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ω ² ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ $\omega$ √ 2​ ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ .$ಹೀಗಾಗಿ,\; L$ ಕೂಡ √ 2​ ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ .

16. ಸಮಸ್ಯೆ: 0.3 ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಸೈಕಲ್ ಚಕ್ರವು 1.5 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ರಿಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದು 5 ರಾಡ್/ಸೆ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ರಿಮ್ ಅನ್ನು ಹೂಪ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರೆ, I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 ಕೆಜಿ.ಮೀ ² /ಸೆ

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಬ್ಬ ಐಸ್ ಸ್ಕೇಟರ್ ತಿರುಗುವಾಗ ತನ್ನ ತೋಳುಗಳನ್ನು ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಎಳೆಯುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಕೇಟರ್‌ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ತನ್ನ ತೋಳುಗಳನ್ನು ಒಳಗೆ ಎಳೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಅವಳು ತನ್ನ ಜಡತ್ವದ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅವಳು ತನ್ನ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು ವೇಗವಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತಾಳೆ (ಹೆಚ್ಚಿದ ಕೋನೀಯ ವೇಗ).

18. ಸಮಸ್ಯೆ: ಫ್ಲೈವೀಲ್ 0.2 kg.m ² kg.m ² ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು , 10 rad/s ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 ಕೆಜಿ ಮೀ ² /ಸೆ

ಎಲ್ = 0.2 × 10 = 2 ಕೆಜಿ. ಮೀ ² / ಸೆ

19. ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶೂನ್ಯದ ನಿವ್ವಳ ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು?

ಪರಿಹಾರ: ನಿವ್ವಳ ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

20. ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಂದು ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m = 5 ಕೆಜಿ, ಅದನ್ನು P ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ v = 3 m/s ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ 4 ಮೀ ಆಗಿದ್ದರೆ, P ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಅದರ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s