ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೈನರಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ (ಕೇವಲ ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳು: ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯ). ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಯೋಗದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ನಾವು ಹಲವಾರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಯಶಸ್ಸು" ಮತ್ತು "ವೈಫಲ್ಯ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು (ತಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳು) ಎಸೆಯುವುದು, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದು (ನಿಜ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು), ಅಥವಾ ವೈದ್ಯಕೀಯ ಪ್ರಯೋಗ (ಗುಣಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಗುಣಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ).

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
– n , ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
– p, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ.

ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ಎಂಬುದು n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, X n ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು X ~ ದ್ವಿಪದ (n, p) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಾರ್ಯ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ಎಲ್ಲಿ:
– \( \binom{n}{k} \) ಎಂಬುದು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
– \( k \) ಎಂಬುದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ.
– \( n \) ಎಂಬುದು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
– \( p \) ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
– \( (1-p) \) ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ

ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿಯು ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಪದ(n, p) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು:
\[ ಇ(ಎಕ್ಸ್) = ಎನ್ಪಿ \]

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಪುರಾವೆ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು np ಏಕೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅವುಗಳ ಕೊಡುಗೆಗೆ ಹೇಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

n ಬೈನರಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ \( X \) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, \( X_i \) ಎಂಬುದು i-th ಪ್ರಯೋಗದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, i-th ಪ್ರಯೋಗವು ಯಶಸ್ವಿಯಾದರೆ \( X_i = 1 \) ಮತ್ತು ಅದು ವಿಫಲವಾದರೆ \( X_i = 0 \) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ನಾವು \( X \) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]

ಪ್ರತಿಯೊಂದು \( X_i \) ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಹೊಂದಿರುವ ಬೈನರಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, \( X_i \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]

X ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:
\[ ಇ(ಎಕ್ಸ್) = ಇ(ಎಕ್ಸ್_1 + ಎಕ್ಸ್_2 + \ಲ್ಡೋಟ್ಸ್ + ಎಕ್ಸ್_ಎನ್) \]
\[ ಇ(ಎಕ್ಸ್) = ಇ(ಎಕ್ಸ್_1) + ಇ(ಎಕ್ಸ್_2) + \ldots + ಇ(ಎಕ್ಸ್_ಎನ್) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ ಇ(ಎಕ್ಸ್) = ಎನ್ಪಿ \]

ಇದು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ np ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆ

ನಾವು ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 10 ಬಾರಿ ಚಿಮ್ಮಿಸುವ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ತಲೆಗಳು ಉಂಟಾಗುವ ಚಿಮ್ಮುವಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೇಳೋಣ.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
– n = 10 (ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ)
– p = 0.5 (ನಾಣ್ಯವು ನ್ಯಾಯಯುತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು:
\[ E(X) = np = 10 \ ಪಟ್ಟು 0.5 = 5 \]

ಇದರರ್ಥ ನಾವು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು 10 ಬಾರಿ ಪದೇ ಪದೇ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಸರಾಸರಿ ನಮಗೆ 5 ಬಾರಿ ತಲೆಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಜೊತೆಗೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ \( \sigma^2 \) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ \( \sigma \) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:
\[ \ಸಿಗ್ಮಾ^2 = np(1-p) \]
\[ \ಸಿಗ್ಮಾ = \sqrt{np(1-p)} \]

ದತ್ತಾಂಶವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರಕ್ಕೆ ಹರಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಭಿನ್ನತೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶದ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಅಳೆಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲ ದತ್ತಾಂಶದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ.

ತೀರ್ಮಾನ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ವ್ಯವಹಾರದಿಂದ ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗೆ ವಿವಿಧ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. np ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾದ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಸರಾಸರಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಅದು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಈ ಜ್ಞಾನವು ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.