ಸಮಗ್ರತೆ

ಸಮಗ್ರತೆ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಅಥವಾ ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಇತಿಹಾಸ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ.

ಸಮಗ್ರ ಇತಿಹಾಸ

ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮೊದಲು ಯುಡೋಕ್ಸಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಖಾಲಿ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಧುನಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೂ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಕಾಲದೊಂದಿಗೆ ವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಲೀಬ್ನಿಜ್, ನಾವು ಇಂದು ಬಳಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಕೇತ ∫ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಸಮ್ಮಾ (ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಮೊತ್ತ") ದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾದ "s" ನಿಂದ ಬಂದಿದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು "ವಿರೋಧಿ-ಉತ್ಪನ್ನ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡು ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

f(x) ಎಂಬ ಫಲನದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು F(x) ಎಂಬ ಫಲನವಾಗಿದ್ದು, F(x) ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು f(x) ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

∫ f(x) dx = F(x) + C

ಇಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ:

∫ 2x dx = x² + ಸಿ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

a ಇಂದ b ವರೆಗಿನ f(x) ಫಲನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು x = a ಇಂದ x = b ವರೆಗಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)

ಇಲ್ಲಿ F(x) ಎಂಬುದು f(x) ನ ಪ್ರತಿಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8

ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ವಿಧಗಳು

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು:

ಡಬಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್

ಡಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಹುಆಯಾಮದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಭೂಗತ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆ:

∫∫_R f(x,y) dA

ಲೆಬೆಸ್ಗು ಇಂಟೆಗ್ರಲ್

ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಅನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಲೈನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್

ಒಂದು ರೇಖಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

∫_C F · ಡಾ.

ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

ಮೇಲ್ಮೈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಡಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ದ್ರವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

∫∫_S f(x,y,z) dS

ಸಮಗ್ರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ವಿಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಸೇರಿವೆ:

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಲಸ, ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಣದ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಬಲದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

W = ∫ F(x) dx

ಭೌತಿಕ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕೇಂದ್ರ, ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ಸಂಭವನೀಯತಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:

P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt

ಆರ್ಥಿಕ

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಲಾಭಗಳು, ವೆಚ್ಚಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಹಕ/ಉತ್ಪಾದಕರ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ವೆಚ್ಚದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು:

ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚ = ∫ MC(q) dq

ತಾಂತ್ರಿಕ

ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ, ಒತ್ತಡ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವಿರೂಪ ಮತ್ತು ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಂತ್ರಣ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ PID (ಪ್ರಪೋಷರ್ನಲ್-ಇಂಟಿಗ್ರಲ್-ಡೆರಿವೇಟಿವ್) ನಿಯಂತ್ರಕಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಗ್ರ ಸಮಸ್ಯೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಸಮಗ್ರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

f(x) = 3x² ನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

∫ 3x² dx

ಪರಿಹಾರ:
ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಘಾತಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ನಂತರ ಹೊಸ ಘಾತದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ:

∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + ಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 2: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ

1 ರಿಂದ 4 ರವರೆಗಿನ f(x) = 2x ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

∫[1,4] 2x dx

ಪರಿಹಾರ:
ಮೊದಲು, ನಾವು 2x ನ ಪ್ರತ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದು x². ನಂತರ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15

ತೀರ್ಮಾನ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅವುಗಳ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ರ ಗಮನಾರ್ಹ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳವರೆಗೆ, ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳವರೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿಪರ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ.