ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ: ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗವು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಸೂತ್ರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಆಳವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು n ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ "ಯಶಸ್ಸುಗಳ" ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ:

- ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಯೋಗವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯ.
– ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ p.
– ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 – ಪು.
- ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಚಾರಣೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು B(n, p) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು p ಎಂಬುದು ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]

ಎಲ್ಲಿ:
– \( P(X = k) \): n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ k ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
– \( \binom{n}{k} \): k ತೆಗೆದುಕೊಂಡ n ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ.
– \( p \): ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
– \( n \): ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
– \( k \): ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ.

\(\binom{n}{k}\) ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಸರಾಸರಿ) ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
– ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ \( \mu = np \).
– ವ್ಯತ್ಯಾಸವು \( \sigma^2 = np(1-p) \).

2. ಸಮ್ಮಿತಿ:
– p = 0.5 ಆಗಿದ್ದರೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. p ≠ 0.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯು ಬಲಕ್ಕೆ (p < 0.5) ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ (p > 0.5) ಓರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

3. ಓರೆತನ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್:
– ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಓರೆತನವು \( \gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}} \).
– ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ \( \gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)} \).

4. ಅಂದಾಜು ವಿತರಣೆ:
– 0.5 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ದೊಡ್ಡ n ಮತ್ತು p ಗಳಿಗೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು.
– p ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು n ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು np ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಮಾರ್ಕೆಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಪದಗಳಲ್ಲಿ (ಯಶಸ್ಸು/ವೈಫಲ್ಯ) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಬಳಕೆಯ ಕೆಲವು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಮಟ್ಟ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಒಂದು ಬ್ಯಾಚ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ದೋಷಪೂರಿತವಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ 2% ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ 50 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೋಷಯುಕ್ತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನಾವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. n = 50 ಮತ್ತು p = 0.02 ನೊಂದಿಗೆ, ಬ್ಯಾಚ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ k ದೋಷಯುಕ್ತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೌದು/ಇಲ್ಲ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 100 ಜನರ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ (0.7 ಒಪ್ಪಂದದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ) ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪುವ ಪ್ರತಿಸ್ಪಂದಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಿದರೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಒಪ್ಪುವ ಜನರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ತಳಿಶಾಸ್ತ್ರ

ತಳಿಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪೀಳಿಗೆಯಿಂದ ಮುಂದಿನ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆನುವಂಶಿಕತೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಂತತಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆನುವಂಶಿಕ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯು 25% ಇದ್ದರೆ, ನಾಲ್ಕು ಸಂತತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಆ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ವಿಮೆ

ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ, ಯಶಸ್ಸು/ವೈಫಲ್ಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕೆಲವು ಸರಕುಗಳ ಮೇಲಿನ ದಿವಾಳಿತನಗಳು, ಹಕ್ಕು ಪಾವತಿಗಳು ಅಥವಾ ಬಡ್ಡಿದರಗಳ ಸಂಭವವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಉದಾಹರಣೆ

10 ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ 6 ​​ತಲೆಗಳು ಸಿಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ನಾಣ್ಯಗಳು ನ್ಯಾಯೋಚಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು p=0.5 ಎಂದು ಊಹಿಸಿ):

\[ P(X = 6) = \ಬಿನೋಮ್{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^4 \]

\[ = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^{10} \]

\[ = \frac{210}{1024} \]

\[ = 0.205 \]

ಆದ್ದರಿಂದ, 10 ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ 6 ​​ತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.205 ಆಗಿದೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು

ಇಂದಿನ ತಾಂತ್ರಿಕ ಯುಗದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ R, ಪೈಥಾನ್‌ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ಅಥವಾ ಮೈಕ್ರೋಸಾಫ್ಟ್ ಎಕ್ಸೆಲ್‌ನಂತಹ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. `scipy` ಲೈಬ್ರರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸರಳ ಪೈಥಾನ್ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

"ಹೆಬ್ಬಾವು
scipy.stats ನಿಂದ ಬೈನೋಮ್ ಅನ್ನು ಆಮದು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು n=10 ಮತ್ತು p=0.5 ಕ್ಕೆ P(X = 6) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
n = 10
ಪು = 0.5
ಕೆ = 6

ಪ್ರಾಬ್ = binom.pmf(k, n, p)

print(f”{n} ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವಿಕೆಯಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ {k} ತಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ {prob:.3f}”)
""

ತೀರ್ಮಾನ

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ದ್ವಿಮಾನ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಹಣಕಾಸಿನ ನಿರ್ಧಾರಗಳು, ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಸಂಶೋಧನೆ, ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಮಟ್ಟ, ತಳಿಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ದೃಢವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್‌ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಿವೆ, ಇದು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.