ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದು, ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆ, ಅಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳ ಚರ್ಚೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಚಲನೆ, ಲೋಲಕಗಳು (ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಿಗೆ) ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿನ ಅಣುಗಳ ಕಂಪನದಲ್ಲಿಯೂ ಕಾಣಬಹುದು. ಇದನ್ನು "ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ಚಲನೆಯು ನಿಯಮಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಅಥವಾ ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.
1. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು
ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನ (SHM) ಎಂದರೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಆಚೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಗಾತ್ರವು ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನ ಕಡೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಎಫ್ = −ಕೆಎಕ್ಸ್
ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬಲದ ದಿಕ್ಕು ವಿಚಲನದ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಎಳೆದರೆ (ಧನಾತ್ಮಕ x), ಪುನಃಸ್ಥಾಪಕ ಬಲವು ಎಡಕ್ಕೆ (ಋಣಾತ್ಮಕ) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.
GHS ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು:
1. ವಸಂತ–ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ವಸಂತದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ).
2. ಸರಳ ಲೋಲಕ (ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ < 15°). 2. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮಾಣಗಳು GHS ನಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳು: - ವಿಚಲನ (x): ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಸ್ತುವಿನ ಅಂತರ (m). - ವೈಶಾಲ್ಯ (A): ಗರಿಷ್ಠ ವಿಚಲನ (m). - ಅವಧಿ (T): ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಂಪನಕ್ಕೆ (ಗಳು) ಬೇಕಾದ ಸಮಯ. - ಆವರ್ತನ (f): ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಕಂಪನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (Hz). - ಕೋನೀಯ ವೇಗ / ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ (ω): ಸೈನ್/ಕೊಸೈನ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (rad/s) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕ. - ಹಂತ (φ): ಚಲನೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಧಿ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಬಂಧ: f = 1/T ಮತ್ತು T ಮತ್ತು f ನೊಂದಿಗೆ ω ನ ಸಂಬಂಧ: ω = 2πf = 2π/T 3. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನ ಸಮೀಕರಣ ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವಿಚಲನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು: x(t) = A sin(ωt + φ) ಅಥವಾ x(t) = A cos(ωt + φ)
sin/cos ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ (ಉದಾ., t = 0 ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಾನವು ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದೆ). ವೇಗ ಮತ್ತು ವೇಗವರ್ಧನೆ ವೇಗವು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (x = A sin ಆಗಿದ್ದರೆ) ಅಥವಾ ಆರಂಭಿಕ ರೂಪದ ಪ್ರಕಾರ ಋಣಾತ್ಮಕವೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) x(t) = A sin(ωt + φ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ), ನಂತರ: a(t) = −ω² x(t) ಇದು GHS ನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣವಾಗಿದೆ: ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗವರ್ಧನೆ - v_max = Aω - a_max = Aω² ವಸ್ತುವು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವನ್ನು (x = 0) ಹಾದುಹೋದಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವೈಶಾಲ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (x = ±A). 4. ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೋಲಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಪನದ ಅವಧಿ A. ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್-ಮಾಸ್ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ k ಮತ್ತು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ಹೊಂದಿರುವ ಆದರ್ಶ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಾಗಿ: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) ಇದರರ್ಥ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಧಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ದೊಡ್ಡ k (ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಅವಧಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ). B. ಸರಳ ಲೋಲಕ (ಸಣ್ಣ ಕೋನ) ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಉದ್ದ L ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಹೊಂದಿರುವ ಲೋಲಕಕ್ಕೆ g: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಕೋನ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ, ಅವಧಿಯು ಲೋಲಕದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. 5. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನದಲ್ಲಿನ ಶಕ್ತಿ GHS ನಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಘರ್ಷಣೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ): - ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ನ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ: Ep = ½ kx² - ಚಲನ ಶಕ್ತಿ: Ek = ½ mv² - ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ: E = Ek + Ep = ½ kA² x = ±A, v = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಶಕ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. x = 0, Ep = 0 ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಚಲನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 6. ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ ಉದಾಹರಣೆ 1: ವಸಂತ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು k = 200 N/m ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ 0,5 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನೇತುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪನ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ! ನೀಡಲಾಗಿದೆ: m = 0,5 ಕೆಜಿ, k = 200 N/m ಕೇಳಲಾಗಿದೆ: T ಉತ್ತರ: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π s ≈ 0,314 s
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಸಂತ ಕಂಪನದ ಅವಧಿ ಸುಮಾರು 0,314 ಸೆ. --- ಉದಾಹರಣೆ 2: ಆವರ್ತನ ಮತ್ತು ω ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಪ್ರಶ್ನೆ 1 ರಿಂದ, ಆವರ್ತನ (f) ಮತ್ತು ω ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ! ಉತ್ತರ: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 ರಾಡ್/ಸೆ (ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 ರಾಡ್/ಸೆ) ಆದ್ದರಿಂದ, ಆವರ್ತನವು ಸುಮಾರು 3,18 Hz ಮತ್ತು ω = 20 ರಾಡ್/ಸೆ. --- ಉದಾಹರಣೆ 3: ವಿಚಲನ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ವಸ್ತುವು 0,10 ಮೀ ಮತ್ತು ω = 5 ರಾಡ್/ಸೆ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮರಸ್ಯದಿಂದ ಕಂಪಿಸುತ್ತದೆ. t = 0 ನಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುವು ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಚಲನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ! ನೀಡಲಾಗಿದೆ: A = 0,10 m, ω = 5 rad/s ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು: t = 0 → x = 0 ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ v ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. x(0) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸೂಕ್ತ ರೂಪ ಸೈನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: x(t) = A sin(ωt) v(t) = Aω cos(ωt) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, v(0) = Aω cos(0) = Aω ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಹೀಗಾಗಿ: x(t) = 0,10 sin(5t) (ಮೀಟರ್ಗಳು) --- ಉದಾಹರಣೆ 4: ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ವೇಗವರ್ಧನೆ ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಿಂದ, v_max ಮತ್ತು a_max ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಉತ್ತರ: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s² ಆದ್ದರಿಂದ, v_max = 0,50 m/s ಮತ್ತು a_max = 2,5 m/s² . --- ಉದಾಹರಣೆ 5: ವಸಂತಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿ k = 100 N/m ಹೊಂದಿರುವ ವಸಂತವು A = 0,20 m ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕಂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ! ಉತ್ತರ: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 J ಕಂಪನದ ಒಟ್ಟು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಶಕ್ತಿ 2 ಜೌಲ್ಗಳು. --- ಉದಾಹರಣೆ 6: ಲೋಲಕ ಅವಧಿ ಸರಳ ಲೋಲಕವು 1 ಮೀ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. g = 10 m/s² ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಉತ್ತರ: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 ಸೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೋಲಕದ ಅವಧಿ ಸುಮಾರು 2,0 ಸೆ. 7. ತೀರ್ಮಾನ ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಂಪನವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮೂಲಭೂತ ಆವರ್ತಕ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ (F = −kx) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವ ಮರುಸ್ಥಾಪನಾ ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸೈನ್/ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಅದರ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯೂ ಇದೆ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೋಲಕಗಳ ಅವಧಿ ಸೂತ್ರ, ಸ್ಥಳಾಂತರ–ವೇಗ–ವೇಗವರ್ಧನೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಕಂಪನಗಳು ಮತ್ತು ಅಲೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ನಿಮಗೆ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು (ಮೊದಲು ಚರ್ಚೆಯಿಲ್ಲದೆ) ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾರಾಂಶ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
