ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ: ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಪೆಂಡಾಹುಲುವಾನ್

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ವೈದ್ಯಕೀಯ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸಂಬಂಧಿತ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಆಳವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು n ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: "ಯಶಸ್ಸು" ಅಥವಾ "ವೈಫಲ್ಯ." ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು "ತಲೆಗಳು" ಅಥವಾ "ತಲೆಗಳು".

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕಗಳು:
1. n (ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ)
2. p (ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ)

ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು \( B(n, p) \).

ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯ (PMF)

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
ಎಲ್ಲಿ:
– \( \binom{n}{k} \) ಎಂಬುದು n ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ k ನ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ,
– \( p \) ಒಂದೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ,
– \( k \) ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ,
– \( n \) ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. ಸರಾಸರಿ (ಸರಾಸರಿ): ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸರಾಸರಿ \( \mu = np \).
2. ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ \( \sigma^2 = np(1 – p) \).
3. ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಓರೆತನ: \( p = 0.5 \) ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ. \( p < 0.5 \) ಗೆ ವಿತರಣೆಯು ಬಲಕ್ಕೆ ಓರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು \( p > 0.5 \) ಗೆ ವಿತರಣೆಯು ಎಡಕ್ಕೆ ಓರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
4. ಮೌಲ್ಯ ಮಿತಿಗಳು: ದ್ವಿಪದ ಮೌಲ್ಯ (k) 0 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ

ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n) ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ \( \mu = np \) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ \( \sigma = \sqrt{np(1 – p)} \) ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಕುರಿತಾದ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಉತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆ

ಒಂದು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ಸ್ ಕಂಪನಿಯು ಉತ್ಪಾದನಾ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.01 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಂಪನಿಯು 100 ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ 2 ದೋಷಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
\[ P(X = 2) = \ಬಿನೋಮ್{100}{2} (0.01)^2 (0.99)^{98} \]

ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು \(\binom{100}{2}\) ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ನಂತರ ಉಳಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಮಗೆ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ವೈದ್ಯಕೀಯ ಸಂಶೋಧನೆ

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಯಿಲೆಗೆ ಔಷಧದ ಕ್ಲಿನಿಕಲ್ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ, ರೋಗಿಯನ್ನು ಆ ಔಷಧದಿಂದ ಗುಣಪಡಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.8. 10 ರೋಗಿಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ 8 ರೋಗಿಗಳು ಗುಣಮುಖರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?

ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು 8, 9 ಮತ್ತು 10 ರೋಗಿಗಳ ಚೇತರಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]

k ನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ (8, 9, ಮತ್ತು 10) ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರಗಳು

ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಸಮೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, 60% ಗ್ರಾಹಕರು ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. 20 ಗ್ರಾಹಕರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅವರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 15 ಜನರು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?

15 ರಿಂದ 20 ರವರೆಗಿನ ಲೈಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
\[ P(X \geq 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) \]

ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೂಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಡಿಜಿಟಲ್ ಯುಗದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, R, ಪೈಥಾನ್ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳಂತಹ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಪೈಥಾನ್ ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

"ಹೆಬ್ಬಾವು
scipy.stats ನಿಂದ ಬೈನೋಮ್ ಅನ್ನು ಆಮದು ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ

n = 10 ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
p = 0.8 ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ
k = 8 ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ

ನಿಖರವಾಗಿ 8 ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ
prob_8 = binom.pmf(k, n, p)

ಕನಿಷ್ಠ 8 ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ
prob_ge_8 = 1 – binom.cdf(k-1, n, p)

print(f”ನಿಖರವಾಗಿ 8 ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ: {prob_8}”)
print(f”ಕನಿಷ್ಠ 8 ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ: {prob_ge_8}”)
""

ತೀರ್ಮಾನ

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ವಿವಿಧ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ತಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಕರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಉದ್ಯಮದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಈ ಲೇಖನವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಶೋಧನೆಗೆ ಪ್ರೇರಣೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.