ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನದ ಕುರಿತು ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನದ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ

ಪೆಂಡಾಹುಲುವಾನ್

ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದರೆ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಥಳಾಂತರ, ವೇಗ, ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಬಲ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೂ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನವು ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾದ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನ

ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನ {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ {\displaystyle -\mathbf{B}} ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ {\displaystyle \mathbf{A}} ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ {\displaystyle -\mathbf{B}} ಎಂಬುದು {\displaystyle \mathbf{B}} ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ

ಪ್ರಶ್ನೆ 1: ಎರಡು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} ಮತ್ತು {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ {\displaystyle \mathbf{B}} ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

{\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ -\ಮ್ಯಾಥ್‌ಬಿಎಫ್{ಬಿ} = (-1, -2)}

ಮುಂದೆ, {\displaystyle -\mathbf{B}} ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ {\displaystyle \mathbf{A}} ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಮತ್ತು y ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

ಆದ್ದರಿಂದ, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್ (3, 1) ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 2: ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} ಮತ್ತು {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ {\displaystyle \mathbf{Q}} ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

{\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ -\ಮ್ಯಾಥ್‌ಬಿಎಫ್{ಕ್ಯೂ} = (3, -5, -7)}

ಮುಂದೆ, {\displaystyle -\mathbf{Q}} ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ {\displaystyle \mathbf{P}} ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

ಪ್ರತಿಯೊಂದು x, y ಮತ್ತು z ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} ಕಳೆಯುವುದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್ (5, -9, -1) ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 3: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} ಮತ್ತು {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ {\displaystyle \mathbf{N}} ನ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}

ಮುಂದೆ, {\displaystyle -\mathbf{N}} ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ {\displaystyle \mathbf{M}} ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

ಆದ್ದರಿಂದ, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 2 + 2i ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ 4: ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನ

ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:
{\displaystyle \mathbf{U}} 5 ರ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು 30° ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ,
ಮತ್ತು {\displaystyle \mathbf{V}} ನ ಪ್ರಮಾಣವು 3 ಮತ್ತು ಕೋನವು 150° ಆಗಿದೆ.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ {\displaystyle \mathbf{U}} ಮತ್ತು {\displaystyle \mathbf{V}} ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.
{\displaystyle \mathbf{U}} ಗಾಗಿ:
{\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \ಎಡ(\frac{\sqrt{3}}{2}\ಬಲ) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ {\displaystyle \mathbf{U}} ಎಂಬುದು (4.33, 2.5) ಆಗಿದೆ.

{\displaystyle \mathbf{V}} ಗಾಗಿ:
{\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ {\displaystyle \mathbf{V}} (-2.598, 1.5) ಆಗಿದೆ.

ಮುಂದಿನ ಹಂತ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಋಣಾತ್ಮಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಫಲಿತಾಂಶ (6.928, 1).

ತೀರ್ಮಾನ

ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನವು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ತತ್ವವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಋಣಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದು. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.