ಸಮವಸ್ತ್ರ ವಿತರಣೆಯ ಕುರಿತಾದ ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಸರಳ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡೂ ರೀತಿಯ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆ

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗ ಅಥವಾ ಘಟನೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಮಾನ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಫೇರ್ ಡೈ ಅನ್ನು ಉರುಳಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕಾರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1

ಪ್ರಶ್ನೆ:

ಒಂದು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ದಾಳವು 1 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 6 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ದಾಳದ ಒಂದೇ ಉರುಳಿನಲ್ಲಿ 4 ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ಫೇರ್ ಡೈನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು:

ಪಿ(ಎ) = 1/ಎನ್

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n = 6.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಪಿ(4) = 1/6 ≈ 0.167 ಅಥವಾ 16.7%

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2

ಪ್ರಶ್ನೆ:

ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವ 10 ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಎಳೆದರೆ, ಆ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ 7 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ಅರ್ಹ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 8, 9 ಮತ್ತು 10 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚೆಂಡುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಟ್ಟು 10 ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ 3 ಅರ್ಹ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ.

P(B) = ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ / ಒಟ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳು

ಪಿ(ಬಿ) = 3 / 10 = 0.3 ಅಥವಾ 30%

ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆ

ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿತರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 3

ಪ್ರಶ್ನೆ:

X ಎಂಬುದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. X 0.25 ಮತ್ತು 0.75 ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚರ್ಚೆ:

ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರವು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆ (f(x)) 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯು 1 ರ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

X 0.25 ಮತ್ತು 0.75 ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಈ ಎರಡು ಮಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ PDF (ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯ) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಪಿ(0.25 ≤ ಎಕ್ಸ್ ≤ 0.75) = (ಬಿ – ಎ) / (ಡಿ – ಸಿ)

ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು c ಮತ್ತು d ಗಳು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a = 0.25, b = 0.75, c = 0, ಮತ್ತು d = 1.

ಪಿ(0.25 ≤

ಆದ್ದರಿಂದ, X 0.25 ಮತ್ತು 0.75 ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಅಥವಾ 50% ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 4

ಪ್ರಶ್ನೆ:

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿಖರತೆಯ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಳತೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ [2, 5]. ಅಳತೆಯು 3 ಮತ್ತು 4 ರ ನಡುವಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚರ್ಚೆ:

[2, 5] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆ (f(x)) 1/(5-2) = 1/3 ಆಗಿದೆ.

ಅಳತೆಯು 3 ಮತ್ತು 4 ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ:

ಪಿ(3 ≤ ಎಕ್ಸ್ ≤ 4) = (ಬಿ – ಎ) / (ಡಿ – ಸಿ)

ಇಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಗಳು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು c ಮತ್ತು d ಗಳು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಗಡಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a = 3, b = 4, c = 2, ಮತ್ತು d = 5.

ಪಿ(3 ≤ ಎಕ್ಸ್ ≤ 4) = (4 – 3) / (5 – 2) = 1/3 ≈ 0.333 ಅಥವಾ 33.3%

ತೀರ್ಮಾನ

ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಸುಲಭತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಎರಡೂ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ಫೇರ್ ಡೈ ಎಸೆಯುವುದು.
2. ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪ ವಿತರಣೆ: ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಮಧ್ಯಂತರದಾದ್ಯಂತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉದ್ದ ಅಥವಾ ತೂಕವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದು.

ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗಳ ಮೂಲಕ, ನಾವು ವಿವಿಧ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ ಅಥವಾ ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಲೇಖನವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.