ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ
ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲ್ಪಡುವ ಡೇಟಾದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಹಲವು ರೂಪಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆ
ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ವಿತರಣೆಯು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್.
ಉದಾಹರಣೆ 1: ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗವು ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯ. ಪ್ರಯೋಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಒಂದು ಔಷಧ ಕಂಪನಿಯು 10 ರೋಗಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಔಷಧವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಿದೆ. ಆ ಔಷಧವು ಯಾವುದೇ ಒಬ್ಬ ರೋಗಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.7. 10 ರೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ 7 ರೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ ಔಷಧವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ \(X\) \(n = 10\) ಮತ್ತು \(p = 0.7\) ನೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವು:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) ಗೆ:
\[ P(X = 7) = \ಬಿನೋಮ್{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ:
\[ P(X = 7) = 120 \ಬಾರಿ (0.7)^7 \ಬಾರಿ (0.3)^3 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 7) \ಸುಮಾರು 120 \ಟೈಮ್ಸ್ 0.0823543 \ಟೈಮ್ಸ್ 0.027 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 7) \ಸುಮಾರು 0.231 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಔಷಧವು 10 ರಲ್ಲಿ 7 ರೋಗಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸುಮಾರು 0.231 ಅಥವಾ 23.1% ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2: ವಿಷ ವಿತರಣೆ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಪರೂಪದ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಒಂದು ಅಂಗಡಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಗೆ ಸರಾಸರಿ 4 ಗ್ರಾಹಕರು ಬರುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಗಡಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಗ್ರಾಹಕರು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?
ಚರ್ಚೆ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ \(X\) \(\lambda = 4\) ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವು:
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = ಕೆ) = \ಫ್ರಾಕ್{\ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ^ಕೆ^{-\ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ}}{ಕೆ!} \]
\(k = 5\) ಗೆ:
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 5) = \frac{4^{5 e^{-4}}{5!} \]
ಎಣಿಕೆ:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 5) \ಸುಮಾರು \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 5) \ಸುಮಾರು 0.156 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಗಡಿಯು ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ 5 ಗ್ರಾಹಕರನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸುಮಾರು 0.156 ಅಥವಾ 15.6% ಆಗಿದೆ.
ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆ
ಅಳೆಯಲಾಗುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದಾಗ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಜ್ಞಾನ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ:
ನಗರದಲ್ಲಿ ವಯಸ್ಕ ಪುರುಷರ ಎತ್ತರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 170 ಸೆಂ.ಮೀ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು 10 ಸೆಂ.ಮೀ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ಪುರುಷನು 160 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು 180 ಸೆಂ.ಮೀ ನಡುವೆ ಎತ್ತರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಚರ್ಚೆ:
ನಾವು 160 cm ಮತ್ತು 180 cm ಗಳಿಗೆ z- ಸ್ಕೋರ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. z- ಸ್ಕೋರ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\) ಗೆ:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\) ಗೆ:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
ಈಗ ನಾವು z ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗಿದೆ. z = -1 ರಿಂದ z = 1 ರವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಿಸುಮಾರು 0.6826 ಆಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಪುರುಷನು 160 ಸೆಂ.ಮೀ ಮತ್ತು 180 ಸೆಂ.ಮೀ ನಡುವೆ ಎತ್ತರವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸರಿಸುಮಾರು 0.6826 ಅಥವಾ 68.26% ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4: ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ
ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಒಂದು ಅಂಗಡಿಗೆ ಇಬ್ಬರು ಗ್ರಾಹಕರು ಬರುವ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯ 15 ನಿಮಿಷಗಳು. ಇಬ್ಬರು ಗ್ರಾಹಕರು ಬರುವ ನಡುವಿನ ಸಮಯ 10 ನಿಮಿಷಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು?
ಚರ್ಚೆ:
ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯು \(\lambda\) ಎಂಬ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಸರಾಸರಿ (\(\mu\)) ನ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. 15 ನಿಮಿಷಗಳ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ:
\[ \ಲಾಂಬ್ಡಾ = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
ಘಾತೀಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\) ಗೆ:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ \ಲೆಕ್ 10) \ಸುಮಾರು 1 – 0.5134 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ \ಲೆಕ್ 10) \ಸುಮಾರು 0.4866 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಬ್ಬರು ಗ್ರಾಹಕರ ಆಗಮನದ ನಡುವಿನ ಸಮಯ 10 ನಿಮಿಷಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸುಮಾರು 0.4866 ಅಥವಾ 48.66% ಆಗಿದೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಎರಡೂ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ. ದ್ವಿಪದ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಗಳು ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಅರ್ಥೈಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿಮ್ಮ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.
