ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಯಶಸ್ಸು ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿವರವಾದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಆಳವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಚಯ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:
1. n : ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
2. ಪು: ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
3. q = 1-p : ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವು:
\[ P(X = k) = {n \ಆಯ್ಕೆ k} p^k (1-p)^{nk} \]
ಎಲ್ಲಿ:
– \( {n \ಆಯ್ಕೆ k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್.
– \( k \): ಬಯಸಿದ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1: ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ 10 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಗುಂಪು ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸ್ಪರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಲು ಆಯ್ಕೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0,3. ನಿಖರವಾಗಿ 4 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಯ್ಕೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.
ಹಂತ 1: ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.
– \( ಎನ್ = 10 \)
– \( ಪು = 0.3 \)
ಹಂತ 2: \( X = 4 \) ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ.
\[ P(X = 4) = {10 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \ಆಯ್ಕೆ 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
ಈಗ \( (0.3)^4 \) ಮತ್ತು \( (0.7)^6 \) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
ಆದ್ದರಿಂದ,
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 4) = 210 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0081 \ಸಿಡಾಟ್ 0.117649 \ಸುಮಾರು 0.20012 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಖರವಾಗಿ 4 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಯ್ಕೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸರಿಸುಮಾರು 0.20012 ಅಥವಾ 20.012% ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2: ಸಂಭವನೀಯತೆ 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ
ಈಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಯ್ಕೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹಂತ 1: ನಾವು \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), ಮತ್ತು \( P(X = 2) \) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು.
– \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \0 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 0) = 1 \ಸಿಡಾಟ್ 1 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \1 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 1) = 10 \ಸಿಡಾಟ್ 0.3 \ಸಿಡಾಟ್ 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \2 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cಡಾಟ್ (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 2) = 45 \ಸಿಡಾಟ್ 0.09 \ಸಿಡಾಟ್ 0.2334744 = 0.2334744 \]
ಹಂತ 2: ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ \ಲೆಕ್ 2) = ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 0) + ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 1) + ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 2) \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ \ಲೆಕ್ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, 2 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಯ್ಕೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸರಿಸುಮಾರು 0.7740671 ಅಥವಾ 77.41% ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಕನಿಷ್ಠ 8 ರ ಸಂಭವನೀಯತೆ
ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು 12 ಬಾರಿ ನಡೆಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ 8 ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಹಂತ 1 : ದ್ವಿಪದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ: \( n = 12, p = 0.5 \).
ಹಂತ 2 : \( X \geq 8 \) ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಇದಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಎಣಿಸಿ:
– \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \8 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 8) = 495 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \9 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 220 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 9) = 220 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \10 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 66 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 10) = 66 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \11 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 12 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 11) = 12 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \12 ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ} = 1 \]
\[ ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 12) = 1 \ಸಿಡಾಟ್ 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
ಹಂತ 3: ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ಸುಮಾರು 0.1938477 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, 12 ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 8 ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸರಿಸುಮಾರು 0.1938477 ಅಥವಾ 19.38% ಆಗಿದೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅನೇಕ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ವ್ಯಾಯಾಮವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ರಚನೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸಂಘಟಿತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
