ಗಣಿತದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕುರಿತಾದ ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಗಣಿತದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಚರ್ಚೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆ

ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ, ಅಥವಾ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಡಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೂಪಾಂತರವು ರೂಪಾಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮಾದರಿಗಳು, ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ನೈಜ-ಜೀವನದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಡಿಲೇಷನ್ ಎಂದರೇನು?

ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂಶದಿಂದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹಿಗ್ಗಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವು ಅದೇ ಗುಣಕದಿಂದ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ದೂರ ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲ್ ಅಂಶವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಬಹುದು (ಸ್ಕೇಲ್ ಅಂಶ > 1), ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು (0 <ಸ್ಕೇಲ್ ಅಂಶ < 1), ಅಥವಾ ಆಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬಹುದು. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತಗಳು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳು ಸೇರಿವೆ: - ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರ (P): ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. - ಸ್ಕೇಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ (k): ಎಷ್ಟು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಕಡಿತ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತ. \( k > 1 \) ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಸ್ತುವನ್ನು ವರ್ಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. \( 0 < k < 1 \) ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಗಾತ್ರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x, y) ಹೊಂದಿರುವ A ಬಿಂದುವು K ಎಂಬ ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು O (0,0) ನಲ್ಲಿ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ A' ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹಿಗ್ಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಂತರ A' ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (kx, ky) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹೊಸ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರ: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] ಇಲ್ಲಿ (x, y) ಬಿಂದುವಿನ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು ಮಾಪಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1 ಬಿಂದು A (2, 3) ಅನ್ನು 2 ರ ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು O (0, 0) ನಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಚರ್ಚೆ: A ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (2, 3), ಮಾಪಕ ಅಂಶ k = 2, ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು O ಬಿಂದು (0, 0). ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (4, 6). ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2 ಬಿಂದು B (-1, 4) ಅನ್ನು 0,5 ರ ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು O (0, 0) ನಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು B ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಚರ್ಚೆ: B ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-1, 4), ಮಾಪಕ ಅಂಶ k = 0,5, ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು O ಬಿಂದು (0, 0). ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ B ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-0,5, 2). ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 3 ಬಿಂದು C (3, -2) -1 ರ ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು O (0, 0) ನಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು C ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಚರ್ಚೆ: C ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (3, -2), ಮಾಪಕ ಅಂಶ k = -1, ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು O ಬಿಂದು (0, 0). ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು C ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-3, 2). ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 4 ಪಾಯಿಂಟ್ D (2, 5) ಅನ್ನು 3 ರ ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು P (1, 1) ನಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು D ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಚರ್ಚೆ: D ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (2, 5), ಮಾಪಕ ಅಂಶ k = 3, ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು P ಬಿಂದು (1, 1). ಮೊದಲು, ನಾವು D ಬಿಂದುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಕೇಂದ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ P (1, 1) ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ: D ಯಿಂದ P ಗೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] D_r ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ k ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು D_r' ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ D ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (4, 13). ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 5 ಬಿಂದು E (-2, -3) 0,25 ರ ಮಾಪಕ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು P (-1, -1) ನಲ್ಲಿದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬಿಂದು E ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಚರ್ಚೆ: E ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-2, -3), ಮಾಪಕ ಅಂಶ k = 0,25, ಮತ್ತು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವು P ಬಿಂದು (-1, -1). ಮೊದಲು, ನಾವು E ಬಿಂದುವನ್ನು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಕೇಂದ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ P (-1, -1) ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ: E ಯಿಂದ P ಗೆ ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] E_r ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ k ಸ್ಕೇಲ್ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು E_r' ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ E ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (-1,25, -1,5). ತೀರ್ಮಾನ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಎನ್ನುವುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂಶದಿಂದ ಹಿಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ಓದುಗರು ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆಶಿಸಲಾಗಿದೆ.