ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಘಟನೆಗಳು A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮವು ಬಹು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಮೂಲಭೂತ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಮೊತ್ತ ನಿಯಮವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ನಿಯಮ
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ. ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಘಟಿತ ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವಲ್ಲ.
ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವು ಹೇಳುವಂತೆ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು \(A\) ಮತ್ತು \(B\) ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದ್ದರೆ, \(A\) ಅಥವಾ \(B\) ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎರಡು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
\[ ಪಿ(ಎ \ಕಪ್ ಬಿ) = ಪಿ(ಎ) + ಪಿ(ಬಿ) \]
ಇಲ್ಲಿ \(P(A \cup B)\) ಎಂಬುದು \(A\) ಅಥವಾ \(B\) ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, \(P(A)\) ಎಂಬುದು \(A\) ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು \(P(B)\) ಎಂಬುದು \(B\) ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1
ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಆರು ಬದಿಯ ಡೈ ಅನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅಥವಾ 4 ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ನಾವು ಘಟನೆ \(A\) ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯ 2 ರ ಸಂಭವವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಘಟನೆ \(B\) ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯ 4 ರ ಸಂಭವವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ:
– \(P(A)\) ಎಂಬುದು ಮೌಲ್ಯ 2 ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
– \(P(B)\) ಎಂಬುದು ಮೌಲ್ಯ 4 ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ದಾಳವು ಆರು ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ \( \frac{1}{6} \). ಆದ್ದರಿಂದ:
\[ ಪಿ(ಎ) = \frac{1}{6} \]
\[ ಪಿ(ಬಿ) = \frac{1}{6} \]
\(A\) ಮತ್ತು \(B\) ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ 2 ಮತ್ತು 4 ಮೌಲ್ಯಗಳು ಡೈನ ಒಂದೇ ರೋಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವಂತಹ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
\[ ಪಿ(ಎ \ಕಪ್ ಬಿ) = ಪಿ(ಎ) + ಪಿ(ಬಿ) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಅಥವಾ 4 ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ \( \frac{1}{3} \) ಅಥವಾ ಸುಮಾರು 33.33% ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2
ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ 4 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳು ಮತ್ತು 6 ನೀಲಿ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 10 ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಆರಿಸಿದರೆ, ತೆಗೆದ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು?
ಚರ್ಚೆ:
ನಾವು \(A\) ಘಟನೆಯನ್ನು ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು \(B\) ಘಟನೆಯನ್ನು ನೀಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ:
– \(P(A)\) ಕೆಂಪು ಚೆಂಡನ್ನು ಆರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
– \(P(B)\) ನೀಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಆರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:
\[ P(A) = \frac{\ಪಠ್ಯ{ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}}{\ಪಠ್ಯ{ಒಟ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\ಪಠ್ಯ{ನೀಲಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}}{\ಪಠ್ಯ{ಒಟ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
\(A\) ಮತ್ತು \(B\) ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಎರಡೂ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ:
\[ ಪಿ(ಎ \ಕಪ್ ಬಿ) = ಪಿ(ಎ) + ಪಿ(ಬಿ) = \ಫ್ರಾಕ್{2}{5} + \ಫ್ರಾಕ್{3}{5} = 1 \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಅಥವಾ 100%. ಚೀಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಚೆಂಡುಗಳು ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 3
ಪ್ರಶ್ನೆ:
20 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿರುವ ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ, 7 ಜನ ಗಣಿತವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ, 5 ಜನ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನೂ ಇಷ್ಟಪಡುವ ಯಾರೂ ಇಲ್ಲ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಗಣಿತ ಅಥವಾ ವಿಜ್ಞಾನ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಇಷ್ಟವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ನಾವು \(A\) ಘಟನೆಯನ್ನು ಗಣಿತವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದು ಮತ್ತು \(B\) ಘಟನೆಯನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ:
– \(P(A)\) ಎಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಗಣಿತವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
– \(P(B)\) ಎಂದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:
\[ P(A) = \frac{\text{ಗಣಿತವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}}{\text{ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\ಪಠ್ಯ{ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}}{\ಪಠ್ಯ{ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
\(A\) ಮತ್ತು \(B\) ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಎರಡನ್ನೂ ಇಷ್ಟಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
\[ ಪಿ(ಎ \ಕಪ್ ಬಿ) = ಪಿ(ಎ) + ಪಿ(ಬಿ) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಗಣಿತ ಅಥವಾ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ \( \frac{3}{5} \) ಅಥವಾ 60%.
ತೀರ್ಮಾನ
ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಕಲನ ನಿಯಮವು ಸಂಭವನೀಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಜಂಟಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ತತ್ವವನ್ನು ದಾಳಗಳನ್ನು ಉರುಳಿಸುವುದು, ಚೀಲದಿಂದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಅಥವಾ ತರಗತಿಯಿಂದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತಹ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
