Снаряд қозғалысы

Снаряд қозғалысы және шешімдері бар үлгі есептері туралы мақала

Бастапқы жылдамдық (v_o) және бастапқы жылдамдықтың компоненті (v_ox және v_oy)

Параболалық қозғалыстары әрқашан бастапқы жылдамдығы бар объект. Параболалық қозғалыс көлденең және тік бағыттағы қозғалыстардың қосындысы болғандықтан, бастапқы жылдамдықтың да көлденең және тік компоненттері бар.

Егер объект 1 және 3-суреттердегідей параболалық қозғалса, онда көлденең бағыттағы бастапқы жылдамдық (v _ox ) және тік бағыттағы бастапқы жылдамдық (v _oy ) келесі теңдеу арқылы есептеледі:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Егер 2-суреттегідей параболалық қозғалатын нысан болса, онда v _o = v _ox (v _oy = 0)

Жылдамдық (v)_x және v_y) және Орын (x және y)

Белгілі бір уақыт аралығындағы көлденең және тік бағыттағы жылдамдық келесі теңдеу арқылы есептеледі:

v _x = v _ox = тұрақты ( біркелкі сызықтық қозғалыс )

v _y = v _oy + gt немесе v _y ² = v _oy ² + 2 gh (еркін түсу қозғалысы)

Белгілі бір уақыт аралығындағы көлденең (x) және тік (y) бағыттағы нысандардың орналасуы келесі теңдеуді пайдаланып есептеледі:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Жылдамдық (v) және позицияның (h) нәтижесі

Белгілі бір уақыт аралығындағы нәтижелік жылдамдық келесі теңдеуді пайдаланып есептеледі:

Белгілі бір уақыт аралығындағы нысандардың бағыты келесі теңдеу арқылы есептеледі:

Ескертулер:

1. Параболалық қозғалыстың көлденең компоненті біркелкі сызықтық қозғалыс ретінде қарастырылады, сондықтан vox = vx әрқашан тұрақты болады

2. Параболалық қозғалыстың тік компоненті еркін түсу қозғалысы ретінде қарастырылады, сондықтан егер объект параболалық қозғалысқа түссе, мысалы, 1 және 3-суреттерде, объектінің максималды биіктіктегі жылдамдығының тік компоненті нөлге тең (vy ₌ 0). Егер сіз мәрмәрді максималды биіктікте тік жоғары лақтырсаңыз, объект төмен қарай бұрылмас бұрын бір сәтке тыныштықта болады (vy ₌ 0). Демек, параболалық объектіні максималды биіктікте қозғалтатын объектінің жылдамдығы = _vx = _vox

3. Егер нысан 2-суретте көрсетілгендей параболалық қозғалысқа түссе, параболалық қозғалыстың тік компоненті еркін түсу қозғалысы ретінде қарастырылады. Егер нысан 1 және 3-суреттердегідей параболалық қозғалысқа түссе, онда параболалық қозғалыстың тік компоненті жоғары қарай тік қозғалыс ретінде қарастырылады.

Үлгі есептері:

1. Оқ көлденең бағытта бастапқы жылдамдығы 20 м/с болатындай етіп атылды. Егер зеңбірек жерден 5 метр биіктікте болса, мынаны анықтаңыз:

(a) ауадағы уақыт

(b) ең жоғары биіктік

(c) көлденең қашықтық

(d) оқтың жерге тиген кездегі жылдамдығы

Шешім:

Көлденең бағыттағы қозғалыс біркелкі сызықтық қозғалыс сияқты талданады, ал тік бағыттағы қозғалыс еркін түсу қозғалысы сияқты талданады.

Белгілі:

v _ox = 20 м/с, v _oy = 0 м/с, h = 5 м, g = 9.8 м/с ²

а) Ауада өткізген уақыты

Шешімі еркін түсу қозғалысындағы уақыт аралығын (t) анықтау сияқты.

Белгілі: v _ой = 0 м/с, сағ = 5 м, g = 9.8 м/с ²

Қажетті: т

b) Ең жоғары биіктік

Максималды биіктігі = h = 5 метр.

c) Көлденең қашықтық (d)

Шешімі біркелкі сызықты қозғалыстағы қашықтықты анықтауға ұқсайды

Белгілі: v _ox = 20 м/с, t = 1 секунд

Қажетті: d

d = vt

d = (20 м/с)(1 с) = 20 м

d) Оқ жерге тиген кездегі жылдамдық

v _tx = v _ox = 20 м/с

v _ty = ?

Алдымен, тік бағыттағы соңғы жылдамдықты (vty) есептейміз. Шешімі еркін түсу қозғалысының соңғы жылдамдығын анықтау сияқты.

Белгілі: v _oy = 0, g = 9.8 м/с² ^, t = 1 с

Қалаған: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

vt ₌ (9.8 м/с² ⁾ (1 с)

vt = 9.8 м/ _с

Оқ жерге тиген кездегі жылдамдығы:

Оқтың бағыты:

v _tx оң x осі бағытында (оңға қарай) және v _ty теріс y осі бағытында (төмен қарай) болғандықтан,

Оқ жерге тиген кездегі бағыты оң х осіне -26.1 ^{o (төмендегі суретті қараңыз).}

2. Зеңбірек оқты көлденең бағытта 30 ^° бұрышпен 60 м/с жылдамдықпен атқан. Анықтаңыз:

(a) ең жоғары биіктік

(b) оқтың максималды биіктіктегі жылдамдығы

(c) ауадағы уақыт

(d) көлденең қашықтық

(e) оқтың жерге тиген кездегі жылдамдығы. Жер тегіс болсын делік. 🙂

Шешім:

Көлденең бағыттағы қозғалыс біркелкі сызықтық қозғалыс сияқты талданады, ал тік бағыттағы қозғалыс жоғары қарай тік қозғалыс сияқты талданады.

Белгілі: v _o = 60 м/с, тета = 30 ^o.

Белгілі деректерге сүйене отырып, алдымен бастапқы жылдамдықтың (v _{o ) тік (v oy} ) және көлденең (v _ox ) компоненттерін есептейміз.

а) Ең үлкен биіктік (сағ)

Шешім жоғары қарай тік қозғалыс кезіндегі максималды биіктікті анықтауға ұқсайды.

Белгілі:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 м/с

v _ой = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 м/с

а) Максималды биіктік (сағ)

Шешім тік жоғары қозғалыс кезіндегі максималды биіктікті анықтауға ұқсайды.

Белгілі:

v _oy = 30 м/с (бұл оқтың бастапқы жылдамдығы)

v _ty = 0 м/с (Ең жоғары биіктікте оқтың тік жылдамдығы = 0 м/с. Бұл соңғы жылдамдық.)

g = – 9.8 м/с ²

Қажетті: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) сағ

0 = 900 – 19.6 сағ

900 = 19.6 сағат

h = 900 / 19.6

h = 45.9 метр

Оқтың жеткен ең жоғары биіктігі = 45.9 метр.

b) Ең жоғары биіктіктегі жылдамдық

Максималды биіктікте тік бағыттағы жылдамдық = 0 м/с. Максималды биіктікте көлденең бағыттағы жалғыз жылдамдық бар. Максималды биіктіктегі көлденең бағыттағы жылдамдық көлденең бағыттағы бастапқы жылдамдыққа тең, ол 52.2 м/с құрайды. Көлденең бағыттағы жылдамдық бағыты әрқашан тұрақты, яғни оң х осі бағытында (егер заттың қозғалысы жоғарыдағы диаграммада сипатталған болса)

в) Ауадағы уақыт

Шешім тік жоғары қозғалысты талқылауда уақыт аралығын (t) анықтауға ұқсайды.

Белгілі:

v _oy = 30 м/с (бұл оқтың тік бағыттағы бастапқы жылдамдығы)

g = – 9.8 м/с ²

h = 0 м (оқ жерге қайта оралғанда, оқтың тік бағыттағы ығысуы = 0 м)

Қажетті: т

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 м/с ² ) t ²

0 = (30) т – 4.9 т ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 т

t = 30 / 4.9

t = 6.12 секунд

Ауадағы уақыт = 6.12 секунд

d) Көлденең қашықтық (d)

Шешімі бірқалыпты сызықты қозғалыстағы (d) қашықтықты анықтауға ұқсайды.

Белгілі:

v _ox = 52.2 м/с

t = 6.12 секунд

Қажетті: d

d = vt = (52.2 м/с)(6.12 секунд) = 319.5 м

e) Оқ жерге тиген кездегі жылдамдық

v _tx = v _ox = 52.2 м/с

v _ty = ?

Алдымен, тік бағыттағы соңғы жылдамдықты есептейміз (vty ₎ . Шешімі тік жоғары қарай қозғалыстағы соңғы жылдамдықты анықтау болып табылады.

Қажетті: v _oy = 30 м/с, g = -9.8 м/с² ^, t = 6.12 секунд

Қалаған: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 м/с

Теріс таңба соңғы жылдамдықтың бағыты төмен қарай екенін көрсетеді. Тік бағыттағы бастапқы жылдамдық тік бағыттағы соңғы жылдамдыққа тең екенін ескеріңіз.

Оқтың жерге тиген кездегі жылдамдығы:

Оқтың бағыты:

v _tx оң x осі бағытында (оңға қарай) және vty теріс y осі бағытында (төмен қарай) болғандықтан,

оқтың жерге тиген кездегі жылдамдығының бағыты оң х осі бойынша -30 ^{° құрайды (төмендегі суретті қараңыз).}

3. Доп 50 метрлік ғимараттың шетінен бастапқы жылдамдығы 10 м/с болатындай етіп лақтырылды. Егер доп көлденеңінен шамамен 30° бұрышпен лақтырылса, мынаны анықтаңыз:

(a) доптың жерге түсу уақыт аралығы

(b) доп жерге тиген кездегі жылдамдығы

(c) доптың жетуге болатын көлденең қашықтығы ғимараттың шетінен өлшенеді

(d) доп жеткен ең үлкен биіктік

Шешім:

Алдымен, бастапқы жылдамдықтың (v _{o ) тік компонентін (v oy} ) және көлденең компонентін (v _ox ) есептейміз.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 м/с)(0.87) = 8.7 м/с

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 м/с)(0.5) = 5 м/с

а) Доптың жерге түсу уақыт аралығы

Шешімі тік жоғары қозғалыстағы уақыт аралығын (t) анықтауға ұқсайды. Бағыты жоғары қарай бағытталған вектордың шамасы оң, бағыты төмен қарай бағытталған вектордың шамасы теріс болып таңдалады. Доптың лақтырылған орны тірек нүктесі ретінде таңдалады. h теріс, себебі жер беті тірек нүктесінен төмен, ал g теріс, себебі ауырлық күшінің үдеу бағыты төмен қарай бағытталған.

Белгілі:

v _oy = 5 м/с, h = – 5 м, g = – 9.8 м/с ²

Қажетті: т

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 т + ½ (-9.8) т ²

-5 = 5 т – 4.9 т ²

-4.9 т ² + 5 т + 5 = 0

Квадраттық формуланы қолданыңыз:

Ауадағы уақыт = доп лақтырылғаннан бері жерге жеткенге дейінгі уақыт аралығы = 1.64 секунд.

b) Доп жер бетіне тиген кездегі жылдамдығы

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 м/с

v _ty = ?

Алдымен, тік бағыттағы соңғы жылдамдықты есептейміз (v _ty ). Шешімі тік жоғары қозғалыстағы соңғы жылдамдықты анықтауға ұқсайды.

Белгілі: v _oy = 5 м/с, g = -9.8 м/с² ^, t = 1.64 секунд

Қалаған: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 м/с

Теріс белгі соңғы жылдамдықтың бағыты төмен қарай екенін көрсетеді.

Оқтың жерге тиген кездегі жылдамдығы:

Оқтың жылдамдығының бағыты = оқ жерге тиген кездегі қозғалыс бағыты:

Оқтың жерге тиген кездегі жылдамдығы:

vtx оң x осі бағытында (оңға қарай) және vty теріс y осі бағытында (төмен қарай) болғандықтан,

оқ жерге тиген кездегі бағыты оң х осі бойынша -52° құрайды (төмендегі суретті қараңыз).

c) Доптың жетуге болатын көлденең қашықтығы ғимараттың шетінен өлшенеді

Шешімі бірқалыпты сызықты қозғалыс кезінде жүрілген қашықтықты (d) анықтауға ұқсайды.

Белгілі: t = 1.64 секунд, v _x = 8.7 м/с

Қажетті: d

d = vt = (8.7 м/с)(1.64 с) = 14.3 м

d) Доп жеткен ең үлкен биіктік

Белгілі: v _oy = 5 м/с, v _ty = 0 м/с ( максималды биіктіктегі жылдамдықтың тік компоненті = 0 м/с), g = -9.8 м/ ^с2.

Қажетті: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 м/с = (5 м/с) ² + 2(-9.8 м/с ² )(сағ)

0 м/с = 25 (м/с) ² + (-19.6 м/с ² )(сағ)

25 (м/с) ² = -19.6 м/с 2 (сағ)

сағ = 25 (м/с) ² : -19.6 м/с ² = 1.3 метр

Доптың жеткен ең үлкен биіктігі = ғимараттың төбесінен 1.3 метр = 1.3 м + 50 м = жер бетінен 51.3 метр биіктікте.