Гаусс заңының мысал сұрақтары және талқылауы
Гаусс заңы электромагнетизмнің негізгі тірегі болып табылады. Ол электр зарядының таралуымен пайда болатын электр өрісін есептеудің тиімді әдісін ұсынады. Бұл мақалада біз бірнеше мысал есептерді талқылаймыз және Гаусс заңының әртүрлі сценарийлерде қолданылуын талқылаймыз.
Гаусс заңының негізгі тұжырымдамасы
Мысал есептерін бастамас бұрын, Гаусс заңының негізгі тұжырымдамасын қарастырайық. Гаусс заңы тұйық беттен шығатын жалпы электр ағыны ((Phi_E) бетпен қоршалған жалпы зарядқа ((q_{in}) пропорционал екенін айтады. Математикалық тұрғыдан Гаусс заңы келесідей өрнектеледі:
\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
Қайда:
– \( \Phi_E \) – электр ағыны.
– \( \mathbf{E} \) – электр өрісі.
– \( \mathbf{A} \) беттік аудан векторы болып табылады.
– \( q_{in} \) – тұйық беттің ішіндегі заряд.
– \( \epsilon_0 \) – вакуумдық диэлектрлік өткізгіштік (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).
1-мысал: Қуыс өткізгіш сферадағы электр өрісі
Сұрақ:
Сыртқы радиусы \(R \) және жалпы заряды \(Q \) болатын қуыс өткізгіш сфера бар. Қуыс өткізгіштің ішіндегі электр өрісін анықтаңыз.
Талқылау:
– Гаусс бетін анықтау:
Өткізгіш қуыстың ішінде радиусы \(r \) болатын концентрлі сфералық Гаусс бетін таңдаймыз деп есептейік (мұндағы \(r < R \)).
– Ағын мен зарядты есептеу:
Өткізгіш сфераның ішкі бөлігі бос қуыс болғандықтан, Гаусс бетінің ішіндегі заряд нөлге тең (\( q_{in} = 0 \)).
– Гаусс заңын қолдану:
Гаусс заңына сәйкес:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
\(q_{in} = 0 \) болғандықтан, электр ағыны да нөлге тең:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0
\]
- Қорытынды:
Электр ағыны нөлге тең болғандықтан, қуыстың ішіндегі әрбір нүктедегі электр өрісінің де нөлге тең екенін білдіреді.
Сонымен, өткізгіш қуыстың ішіндегі электр өрісі \( 0 \, \text{N/C} \) болады.
2-мысал: Шексіз пластинаның электр өрісі
Сұрақ:
Беттік заряд тығыздығы \( \sigma \) болатын шексіз металл пластинаның жанындағы электр өрісін есептеңіз.
Талқылау:
– Гаусс бетін анықтау:
Пластинаның үстінде және астында беттері бар, әрқайсысының ауданы \(A\) болатын цилиндрлік Гаусс бетін «Гаусс таблетка қорабын» таңдаңыз.
– Ағын мен зарядты есептеу:
Беттің екі ұшынан шығатын жалпы электр ағыны:
\[
\Phi_E = 2EA
\]
мұндағы \(E \) - пластинаның екі жағындағы электр өрісі. Гаусс бетімен қоршалған жалпы заряд \(q_{in} \):
\[
q_{in} = \sigma \cdot A
\]
– Гаусс заңын қолдану:
Гаусс заңына сәйкес:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Сондай-ақ:
\[
2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\]
Жеңілдету арқылы:
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\]
- Қорытынды:
Шексіз металл пластинаның жанындағы электр өрісі:
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)}
\]
3-мысал: Нүктелік заряд айналасындағы электр өрісі
Сұрақ:
Нүктелік зарядтан (q) қашықтықтағы электр өрісін есептеңіз.
Талқылау:
– Гаусс бетін анықтау:
Нүктелік зарядтың радиусы \(r \) болатын сфералық Гаусс бетін \(q \) таңдаңыз.
– Ағын мен зарядты есептеу:
Гаусс бетінен шығатын жалпы электр ағыны:
\[
\Phi_E = E \cdot 4\pi r^2
\]
Гаусс бетімен қоршалған жалпы заряд (q_{in}) нүктелік заряд (q) болып табылады.
– Гаусс заңын қолдану:
Гаусс заңына сәйкес:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Сондай-ақ:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}
\]
Жеңілдету арқылы:
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
- Қорытынды:
Нүктелік зарядтан (q) қашықтықтағы электр өрісі:
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)}
\]
4-мысал: Біркелкі заряды бар сфераның ішіндегі және сыртындағы электр өрісі
Сұрақ:
Радиусы \(R\) болатын қатты сфераның жалпы заряды \(Q\) біркелкі таралған. Сфераның ішіндегі (\(r <R\)) және сыртындағы (\(r >R\)) нүктедегі электр өрісін есептеңіз.
Талқылау:
\(r < R \) үшін:
– Гаусс бетін анықтау:
Қатты сфераның ішінде радиусы \(r \) болатын сфералық Гаусс бетін таңдаңыз.
– Жүктемені есептеу:
Заряд біркелкі таралғандықтан, r () радиусындағы заряд:
\[
q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
\]
мұндағы \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \).
\[
q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right) $$ ...
\]
– Гаусс заңын қолдану:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Сондай-ақ:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0}
\]
Жеңілдету арқылы:
\[
E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}
\]
Сонымен, сфера ішіндегі электр өрісі (\( r < R \)): \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] \( r > R \ үшін):
– Гаусс бетін анықтау:
Қатты сферадан тыс радиусы \(r \) болатын сфералық Гаусс бетін таңдаңыз.
– Жүктемені есептеу:
Гаусс бетіндегі жалпы заряд сфераның жалпы зарядына тең \(Q\).
– Гаусс заңын қолдану:
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Сондай-ақ:
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
Жеңілдету арқылы:
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Сонымен, сферадан тыс электр өрісі (\( r > R \)):
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Қорытынды
Гаусс заңы әртүрлі жағдайларда электр өрістерін талдауға арналған қуатты құрал болып табылады. Тиісті Гаусс бетін таңдап, оның негізгі принциптерін қолдану арқылы біз электр өрісінің таралуын тиімдірек есептей аламыз. Жоғарыдағы мысалдар арқылы біз Гаусс заңының өткізгіш сферадағы электр өрісі, шексіз металл пластина, нүктелік заряд және біркелкі заряды бар сфера сияқты жағдайларда қолданылуын көрдік. Тұрақты түсіну және тәжірибе Гаусс заңын әртүрлі электромагнетизм қолданбаларында сенімді қолдануды қамтамасыз етеді.
