統計データの平均偏差を決定するための手法
統計学において、平均値や中央値などを用いてデータの「中心」を理解するだけでは不十分な場合が多い。2つのデータセットは平均値が同じでも、「ばらつき」のレベルが大きく異なることがある。そのため、ばらつきの尺度が重要となる。比較的理解しやすく使いやすいばらつきの尺度の一つに、平均偏差がある。本稿では、様々な形式の統計データにおける平均偏差を求める手法について、計算手順と例を交えながら解説する。
平均偏差の理解
平均偏差とは、各データポイントと中心傾向の指標（通常は算術平均（平均値）または中央値）との平均的な距離を示す指標です。ここでいう距離は、データと中心値との差の絶対値であるため、負の差が正の差を「打ち消す」ことはありません。
一般的に、平均偏差はデータが中心値からどれだけばらついているかを表します。平均偏差が小さいほど、データは中心値の周りに密集しており、値が大きいほどデータのばらつきが大きいことを示します。
絶対値を使う理由とは？
絶対値を使わずにデータと平均値の差の平均を計算すると、差の合計は常にゼロになります（平均値は平衡点であるため）。例えば、差が+5と-5の場合、合計は0になります。そのため、偏差がデータの中心からの距離を正確に反映するように、絶対値が使用されます。
単一データの平均偏差の計算式
単一データ（グループ化されていないデータ）の場合、平均からの平均偏差は次のように定式化されます。
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
ケテランガン：
– \( SR \): 平均偏差
– \( x_i \): i 番目のデータ
– \( \bar{x} \): 算術平均 (平均)
– \( n \): データ量
単一データ計算手法 （手順）
1. すべてのデータの平均 \( \bar{x} \) を計算します。
2. 各データと平均値の差を計算します: \( x_i – \bar{x} \)。
3. 各差の絶対値をとります: \( |x_i – \bar{x}| \)。
4. 差分の絶対値をすべて合計します。
5. データ数 \( n \) で割ります。
単一データの例
値データ: 6、8、10、12、14
1) 平均:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) 差の絶対値：
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
合計 = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) 平均偏差:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
これは、平均すると各値が平均値（10）から2,4単位ずれていることを意味します。
頻出（離散）データの平均偏差
データが値と頻度の形式（例えば表）で提示されている場合、式は次のようになります。
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
ケテランガン：
– \( f_i \): データ頻度 \( x_i \)
周波数データ計算手法
1. 平均値を計算します: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. \( |x_i-\bar{x}| \) を計算します。
3. 周波数を掛けます: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. ステップ3の結果をすべて合計する
5. 総頻度で割る
離散データの例
| 値 (x) | 頻度 (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
合計頻度: \(2+3+1=6\)
平均：
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
偏差を計算してください。
– x=5の場合：|5−6,67|=1,67 → f=2を掛ける → 3,34
– x=7の場合：|7−6,67|=0,33 → f=3を掛ける → 0,99
– x=9の場合：|9−6,67|=2,33 → f=1を掛ける → 2,33
合計: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
平均偏差:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
グループ化されたデータの平均偏差（階級区間）
グループ化されたデータ（例えば、区間度数分布）では、データ値は個別に表示されず、クラスごとに表示されます。この目的のために、クラス内のデータを表すためにクラスの中央値（xi）が使用されます。
計算式：
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
しかし、\(x_i\) はクラスの中点です。
グループデータ計算手法
1. 各階級の中間点を決定する：
\[
x_i=\frac{\text{下限値 + 上限値}}{2}
\]
2. グループ平均を計算する：
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. \( |x_i-\bar{x}| \) を計算します。
4. 周波数 \( f_i \) を掛けます
5. すべての結果を合計し、総頻度で割ります。
グループデータの例
| クラス | f |
|—|—|
| 10～14 | 3 |
| 15～19 | 5 |
| 20～24 | 2 |
中間点:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
合計f = 10
平均：
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
偏差：
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
合計 = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
平均偏差:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
中央値からの平均偏差
平均値に加えて、中央値からも平均偏差を計算できます。原理は同じですが、中心となる値が異なります。中央値は極端な値に対してより頑健であるため、データに外れ値が含まれる場合に有効です。
単一データの場合：
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
周波数データの場合：
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
平均偏差の利点と限界
ケレビハン：
1. データセンターからの「平均距離」を使用しているため、理解しやすい。
2. すべてのデータを使用する（特定のデータだけを使用するのではなく）。
3. さまざまな形式で計算可能 データ表示.
ケテルバタサン:
1. 標準偏差よりも人気がない 分析統計 高度な。
2. 絶対値を使用すると、一部の代数演算が不便になる。
3. 多くの推論手法において、標準偏差ほど強力ではない。
閉鎖
統計データの平均偏差を求める手法は、基本的に一貫した手順に従います。まず中心値（平均値または中央値）を求め、次に各データ点（または階級の中間点）と中心値との絶対距離を計算し、最後にそれらの平均値を求めます。データが表形式で示されている場合は、頻度も考慮に入れます。平均偏差は、データのばらつきを直感的に表すための便利な指標です。これらの手順を理解することで、データセット間のばらつきを比較し、データセットの安定性をより詳細に評価することができます。
ご希望であれば、この記事を学校の課題形式（序論・考察・結論）にアレンジしたり、考察に加えて練習問題を追加したりすることも可能です。
