例題と解説：単一データの分散と標準偏差
統計学は、データの収集、分析、解釈、提示、整理を扱う数学の一分野です。統計学における重要な概念として、分散と標準偏差があります。この記事では、いくつかの例題を通して、単一のデータセットの分散と標準偏差の計算方法を詳しく解説します。
分散と標準偏差を理解する
分散とは、データセット内の数値が平均値からどれだけばらついているかを定量化する指標です。分散は元のデータの二乗単位で表されるため、解釈が難しい場合が多いです。
標準偏差は分散の平方根です。その単位は元のデータの単位と同じであるため、データが平均値からどれだけ乖離しているかをより直感的に把握できます。
一般式
単一データの場合、母集団の分散 \( \sigma^2 \) と標準偏差 \( \sigma \) の式は次のとおりです。
1. 分散 (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. 標準偏差 (σ)
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
ディ・マナ:
– \( N \) は母集団におけるデータの数です。
– \( x_i \) は i 番目のデータ値です。
– \( \mu \) はデータの平均値です。
標本の分散と標準偏差を計算すると、上記の式は若干修正されます。
1. 標本分散 (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. 標本標準偏差（s）：
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
ディ・マナ:
– \( n \) はサンプル内のデータ数です。
– \( \bar{x} \) はサンプルの平均値です。
問題と回答の例
例題1：
以下のデータが与えられた場合：
8、10、10、10、12、14
データの分散と標準偏差を計算してください！
解決手順：
1. 平均値（平均）\( \mu \) の計算:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. データと平均値の差を計算し、二乗する。
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. すべての二乗結果を加算する:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. 母集団データの分散（σ²）の計算：
\[
σ² = 21.3534/6 = 3.559
\]
注：このデータは人口データとして示されているため、6で割ります。
5. 標準偏差（σ）の計算：
\[
σ = √3.559 ≈ 1.886
\]
つまり、データの分散は3.559、標準偏差は1.886です。
例題2：
以下のサンプルデータが与えられた場合：
5、6、8、9、10、11
標本の分散と標準偏差を計算してください！
解決手順：
1. 平均値（平均）\( \bar{x} \) の計算：
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. データと平均値の差を計算し、二乗する。
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. すべての二乗結果を加算する:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. 標本分散（s²）の計算：
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
注：これはサンプルデータなので、5（n-1）で割ります。
5. 標準偏差（s）の計算：
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
したがって、サンプルデータの分散は5.351、標準偏差は2.313です。
結論
分散と標準偏差を計算することは、与えられたデータセット内のデータのばらつきを理解する上で不可欠です。分散は元の単位の二乗でばらつきの理論的な尺度を提供するのに対し、標準偏差はデータの元の単位でばらつきの尺度を解釈するため、理解しやすくなります。データ分析では、これらの2つの尺度はデータのばらつきを評価し、統計的な判断を下すためによく使用されます。
必要な手順と公式を理解することで、日常的なデータ収集と分析で遭遇する様々な状況における分散と標準偏差を容易に計算できます。この記事が、単一データセットにおける分散と標準偏差の概念をより深く理解する一助となれば幸いです。
