決定係数に関する議論問題の例
決定係数（R²）は回帰分析における重要な指標であり、回帰モデルがデータの実際の変動をどの程度適切に説明しているかを示します。本稿では、詳細な例と解説を通して、決定係数の概念を説明します。
決定係数の基本概念
決定係数、または\( R^2 \)は0から1のスケールで測定され、次のようになります。
– \( R^2 = 0 \) は、回帰モデルがデータの変動性を全く説明できないことを示しています。
– \( R^2 = 1 \) は、回帰モデルがデータのすべての変動を完全に説明できることを示しています。
決定係数を計算するための基本式は次のとおりです。
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
ディ・マナ:
– SSR（残差平方和）は、モデルによって予測された値と実際の値との差の二乗の合計です。
– SST（総平方和）は、実際の値と実際の値の平均値との差の二乗の合計です。
問題例
決定係数の計算方法をより深く理解するために、例題を取り上げてみましょう。
問題例：
10人の学生の学習時間（X）と試験の点数（Y）に関するデータがあると仮定します。
| 学生 | 学習時間 (X) | 試験の点数 (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
試験の点数（Y）を学習時間（X）に基づいて予測する、単純な線形回帰モデルを作成します。
討論
1. 単純線形回帰モデルの構築
単純な線形回帰モデルは次の形式をとります。
\[ Y = a + bX \]
ディ・マナ:
– \( Y \) は予測されるテストスコアです。
– \( X \) は学習時間数です。
– \( a \) は切片（X = 0 のときの Y 軸との交点）です。
– \( b \) は傾き（回帰直線の傾斜）です。
パラメータ \( a \) と \( b \) を計算するには、次の式を使用します。
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
ここで、\( n \) はデータの数です (この場合は n = 10)。
表から以下のことが計算できます。
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
まずbを計算してみましょう。
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
次に、以下を計算します。
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
したがって、得られる線形回帰モデルは次のようになります。
\[ Y = 56 + 4X \]
2. 予測値（Y'）を計算する
次に、各 \( X \) に対する予測値 \( Y' \) を計算します。
| 学生 | 学習時間 (X) | 試験スコア (Y) | 予測スコア (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSRとSSTの計算
次に、SSRとSSTを計算して\( R^2 \)を取得します。
SSR：
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
夏時間:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
ディ・マナ:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. 決定係数 \( R^2 \) の計算:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
結論
上記の計算から、決定係数（R2 = 0.59）が得られました。これは、作成した線形回帰モデルが、学習時間に基づく試験スコアの変動の約59%を説明できることを示しています。残りの41%の変動は、モデルに含まれていない他の要因によるものと考えられます。
上記の手順と計算を理解することで、構築した回帰モデルがデータの実際の変動をどれだけうまく説明しているかを評価する上で、決定係数がいかに重要であるかが分かります。これは統計分析やデータモデリングにおいて非常に有用なツールです。
