クーロンの法則に関する例題
クーロンの法則は、2つの電荷間の力を説明する物理学の基本原理です。静電気学の分野で研究されているこの法則は、電荷が互いに引き合ったり反発したりする仕組みを説明します。この法則は、18世紀にフランスの物理学者シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンによって初めて提唱されました。本稿では、例とその解を検証することでクーロンの法則について解説し、読者がこの基本原理の実際的な応用を理解できるよう支援します。
理論的基礎：クーロンの法則とは何か？
クーロンの法則は、2つの点電荷 q_1 と q_2 の間に働く静電気力 \( F \) の大きさは、2つの電荷の大きさの積に比例し、それらの間の距離 r の2乗に反比例すると述べています。数学的に、クーロンの法則の式は次のように表すことができます。
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
ディ・マナ:
– \( F \) は静電気力の大きさです
– \( k_e \) はクーロン定数 (\( 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \)) です。
\( q_1 \) と \( q_2 \) は電荷の大きさです。
– \( r \) は2つの電荷間の距離です
例題1
質問 ：
2つの点電荷があります。\( q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \) と \( q_2 = -3 \times 10^{-6} \, C \) です。これらの電荷は0,05メートル離れています。2つの電荷間に働く静電気力の大きさを計算してください。
議論 ：
最初のステップは、クーロンの法則の公式を書き直すことです。
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
次に、既知の値を式に代入します。
\[ k_e = 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[ q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_2 = -3 \times 10^{-6} \, C \]
\[ r = 0,05 \, m \]
これらの値を式に代入します。
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{|2 \times 10^{-6} \cdot -3 \times 10^{-6}|}{(0,05)^2} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{6 \times 10^{-12}}{0,0025} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{6 \times 10^{-12}}{2,5 \times 10^{-3}} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \times 2,4 \times 10^{-9} \]
\[ F = 21.57 \, N \]
電荷 \( q_2 \) は負であるため、作用する静電気力は引力です。これは、正電荷と負電荷が互いに引き合うためです。
例題2
質問 ：
2 つの電荷 \( q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C \) と \( q_2 = 10 \times 10^{-9} \, C \) は 0,1 メートル離れています。 \( q_1 \) に作用する静電気力の大きさを計算します。
議論 ：
クーロンの法則の公式をもう一度使用してください。
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
既知の値を代入します。
\[ k_e = 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[ q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C \]
\[ q_2 = 10 \times 10^{-9} \, C \]
\[ r = 0,1 \, m \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{(5 \times 10^{-9}) (10 \times 10^{-9})}{(0,1)^2} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{50 \times 10^{-18}}{0,01} \]
\[ F = 8.9875 \times 10^9 \, \times 5 \times 10^{-15} \]
\[ F = 44.9375 \, N \]
作用する力は反発力です。なぜなら、電荷 \( q_1 \) と \( q_2 \) はどちらも同じ符号、つまり正だからです。
例題3
質問 ：
3 つの点電荷が一直線上に並んでいます。最初の電荷は \( q_1 = 2 \mu C \)、2 番目の電荷は \( q_2 = -1 \mu C \)、3 番目の電荷は \( q_3 = 3 \mu C \) です。 \( q_1 \) と \( q_2 \) の間の距離は 0,1 m、\( q_2 \) と \( q_3 \) の間の距離は 0,2 m です。 \( q_2 \) に作用する全静電気力の大きさと方向を計算してください。
議論 ：
まず、\( q_1 \) と \( q_2 \) の間の静電気力を計算します。
\[ F_{12} = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
\[ k_e = 8.9875 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[ q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C \]
\[ r = 0,1 \, m \]
\[ F_{12} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{(2 \times 10^{-6}) (-1 \times 10^{-6})}{(0,1)^2} \]
\[ F_{12} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{2 \times 10^{-12}}{0,01} \]
\[ F_{12} = 8.9875 \times 10^9 \, \times 2 \times 10^{-10} \]
\[ F_{12} = 1.7975 \, N \]
\( q_1 \) は正で \( q_2 \) は負なので、力 \( F_{12} \) は \( q_1 \) に向かう引力です。
次に、\( q_2 \) と \( q_3 \) の間の静電気力を計算します。
\[ F_{23} = k_e \frac{|q_2 \cdot q_3|}{r^2} \]
\[ q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_3 = 3 \times 10^{-6} \, C \]
\[ r = 0,2 \, m \]
\[ F_{23} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{(-1 \times 10^{-6}) (3 \times 10^{-6})}{(0,2)^2} \]
\[ F_{23} = 8.9875 \times 10^9 \, \frac{3 \times 10^{-12}}{0,04} \]
\[ F_{23} = 8.9875 \times 10^9 \, \times 7.5 \times 10^{-11} \]
\[ F_{23} = 0.67406 \, N \]
\( q_2 \) は負で \( q_3 \) は正なので、力 \( F_{23} \) は \( q_3 \) に向かう引力です。
最後に、両方の力を組み合わせて最終結果を求めます。
\( q_2 \) にかかる合計力:
\[ F_{\text{total}} = F_{12} – F_{23} \]
\[ F_{\text{total}} = 1.7975 \, N – 0.67406\, N \]
\[ F_{\text{total}} = 1.12344 \, N \]
合計力の方向は \( q_1 \) の方向です。なぜなら、力 \( F_{12} \) は \( F_{23} \) より大きいからです。
結論
クーロンの法則は、電荷間の引力と斥力の両方を含む相互作用に関する重要な知見を提供します。ここで説明する例は、電荷の大きさと電荷間の距離を考慮して静電気力を計算する際に、この法則がどのように適用されるかを示しています。クーロンの法則を深く理解することで、私たちの身の回りで起こる様々な電気的および磁気的現象を理解するのに役立ちます。
