二項分布関数に関する例題
二項分布は、成功と失敗の2つの結果からなる複数の独立試行からなる実験における成功回数を表す離散確率分布です。各試行は「試行」と呼ばれ、二項分布は、複数の独立試行における成功回数に関心がある場合によく用いられます。この記事では、二項分布の基本概念について説明し、例と解法を示します。
二項分布関数の基本概念
例題と解説に入る前に、二項分布に関連する基本的な概念について説明しましょう。
1. 定義: 二項分布は、n 回の独立した試行における成功の合計として定義されます。各試行には、成功 (確率 p) または失敗 (確率 q = 1 – p) の 2 つの可能な結果があります。
2. 確率関数：二項分布の確率関数は次のとおりです。
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
どこ：
– \( P(X = k) \) は n 回の試行で k 回の成功が得られる確率です。
– \( \binom{n}{k} \) は n と k の組み合わせであり、\( \frac{n!}{k!(nk)!} \) と定義されます。
– \( p \) は各試行における成功の確率です。
– \( (1-p) \) は各試行における失敗の確率です。
3. 期待値と分散：
– 二項分布の期待値（平均）は \( \mu = np \) です。
二項分布の分散は \( \sigma^2 = np(1-p) \) です。
それでは、これらの概念を例題に適用して、より深い理解を深めていきましょう。
例題1：二項分布の基本計算
質問 ：
ある会社は、各部品が品質検査に合格する確率が0.95である電子部品を製造している。10個の部品を製造した場合、ちょうど8個の部品が品質検査に合格する確率を計算せよ。
議論 ：
この問題を解決するには、二項分布の公式を使用できます。まず、以下のパラメータを特定します。
– \( n \) (試行回数合計) = 10
– \( k \) (成功回数) = 8
– \( p \) (成功確率) = 0.95
– \( q \) (失敗確率) = 1 – 0.95 = 0.05
次に、これらの値を二項分布の公式に代入します。
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
まず、組み合わせ \( \binom{10}{8} \) を計算します。
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
次に、確率 \( (0.95)^8 \) と \( (0.05)^2 \) を計算します。
\[
(0.95)^8 ≈ 0.6634
\]
\[
（0.05）^2 = 0.0025
\]
最後に、これらの値をすべて掛け合わせると次のようになります。
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ≈ 0.0744
\]
つまり、10個の部品のうちちょうど8個が品質検査に合格する確率は約0.0744、つまり7.44%です。
例題2：累積確率
質問 ：
同じ会社で、10個の部品のうち少なくとも9個が品質検査に合格する確率を計算してください。
議論 ：
この問題を解決するには、累積確率を計算する必要があります。10個の部品のうち少なくとも9個がテストに合格する確率は、\( P(X \geq 9) \) であり、これは次のように表すことができます。
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
二項分布の公式を用いると：
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
まず、各ケースの組み合わせを計算します。
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
次に、\( P(X = 9) \) と \( P(X = 10) \) の確率を計算します。
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 ≈ 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ≈ 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} 約 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\( P(X \geq 9) \) の合計確率:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \approx 0.9138
\]
つまり、10個の部品のうち少なくとも9個が品質検査に合格する確率は約0.9138、つまり91.38%です。
例題3：期待値と分散
質問 ：
製造された10個の部品のうち、品質検査に合格する部品の数の期待値と分散を計算してください。合格確率は0.95とします。
議論 ：
以下の式を使用してください。
– 期待値（平均）\( \mu = np \)
– 分散 \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\( n = 10 \) および \( p = 0.95 \) の場合：
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
したがって、品質テストに合格する部品数の期待値は9.5であり、分散は0.475である。
結論
上記の3つの例題を通して、二項分布を用いて様々な状況における確率を計算する方法、すなわち、正確な確率、累積確率、期待値と分散の計算方法について説明しました。二項分布の知識は、製造業、医学研究、社会統計学など、様々な分野で役立ちます。これらの分野では、2つの結果が考えられる実験を繰り返した結果を分析することで、意思決定に役立てることができます。提供した例題と解説が、二項分布への理解を深める一助となれば幸いです。
