デリバティブにおける連鎖律の例題と解説
連鎖律は微分積分学における最も基本的な概念の一つであり、2つ以上の関数から構成される関数の導関数を計算するために用いられます。本稿では、連鎖律の基本概念、その使い方、そして高校や大学で頻繁に出題される導関数問題における使用例について解説します。
1. 連鎖律の概要
例題に入る前に、まず連鎖律とは何かを理解しましょう。連鎖律とは、微分可能な関数 \( f \) と \( g \) があり、それらの合成関数 \( h = f(g(x)) \) の導関数を求めたい場合、\( h \) の導関数は次のようになるというものです。
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
簡単に言うと、外側の関数の g(x) の導関数を計算し、その結果に内側の関数 \( g(x) \) の導関数を掛けます。
2. 構成の機能の理解
例題に入る前に、合成関数を理解することが重要です。合成関数とは、ある関数を別の関数に代入して得られる関数です。例えば、\( f(x) = \sin(x) \) と \( g(x) = x^2 \) がある場合、2 つの関数の合成は \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) となります。
合成関数では、\( g(x) \) を「内部関数」、\( f(x) \) を「外部関数」と考えることがよくあります。この例では、内部関数は \( x^2 \) で、外部関数は sin です。
3. 例題とディスカッション
連鎖律を使って解く例題をいくつか見ていきましょう。
例1:
関数 \( y = \cos(3x^2) \) が与えられたとき、x に関する y の 1 階微分を求めます。
議論：
まず、内部関数と外部関数を特定します。ここでは、内部関数は \( g(x) = 3x^2 \) であり、外部関数は \( f(g) = \cos(g) \) です。
私たちは知っています：
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
連鎖律により、次の式が得られます。
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
したがって、\( y = \cos(3x^2) \) の導関数は次のようになります。
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
例2:
\( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) の一次導関数を求めます。
議論：
ここで、内側の関数は \( g(x) = 5x^3 + 2x \) であり、外側の関数は \( f(g) = e^g \) です。
私たちは知っています：
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
連鎖律により、次の式が得られます。
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
したがって、\( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) の導関数は次のようになります。
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
例3:
\( y = \ln(4x^2 – 5) \) の一次導関数を求めます。
議論：
内側の関数は \( g(x) = 4x^2 – 5 \) で、外側の関数は \( f(g) = \ln(g) \) です。
私たちは知っています：
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
連鎖律により、次の式が得られます。
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
したがって、\( y = \ln(4x^2 – 5) \) の導関数は次のようになります。
\[ y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
例4:
関数 \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) が与えられたとき、その導関数を求めなさい。
議論：
内側の関数は \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) で、外側の関数は \( f(g) = g^4 \) です。
私たちは知っています：
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
連鎖律により、次の式が得られます。
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
したがって、\( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) の導関数は次のようになります。
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. 特殊なケースと連鎖ルールの展開
連鎖律は、2つの関数の合成だけに留まらない場合もあります。関数が2つ以上の関数の合成である場合もあります。例えば、\( h(x) = f(g(k(x))) \) のようにです。
3つの関数の場合、連鎖律は段階的に適用できます。
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
各層において、まず外側の層の導関数を計算してから、内側の層の導関数を計算していることがわかります。
例5:
\( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) が与えられたとき、その導関数を求めなさい。
議論：
最も内側の関数は \( k = 2x^2 + 1 \)、中間は \( g = \ln(k) \)、外側は \( f = \sqrt{g} \) です。
私たちは知っています：
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
連鎖律を階層的に適用してみましょう。
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
したがって、\( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) の導関数は次のようになります。
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. ケシンプラン
連鎖律は微分積分学において、特に関数の合成を扱う際に重要な役割を果たします。連鎖律を理解し習得することは、微積分学におけるより複雑な問題に取り組むための確固たる基礎となります。本稿では、連鎖律を導関数に適用する際の理解を深めるために、いくつかの重要な例を取り上げました。この解説が学生の皆さんの役に立ち、様々な難解な数学的状況に応用できることを願っています。
