חומר משוואת הרציפות
נסו לפתוח את ברז המים באיטיות תוך כדי התבוננות בזרימת המים היוצאת מהברז. לאחר שהברז מפסיק להסתובב, חסמו אותו חלקית בעזרת ידכם. כעת השוו איזו זרימת מים גדולה יותר. מתי חסום חלקית או לא חסום? אם יש לכם צינור המשמש בדרך כלל להשקיית פרחים, תנו למים לזרום דרכו. חסמו חלקית את הצינור בעזרת ידכם או אצבעכם. ככל שחלק גדול יותר מהצינור חסום, כך המים יזרמו החוצה מהר יותר. לעומת זאת, אם הצינור אינו חסום, המים יזרמו פחות מהר. מדוע זה כך? כדי להבין זאת, אנא למדו את משוואת הרציפות.
ייעול וצינורות זרימה
ראשית, בואו נבין את המושגים של קווי זרימה וצינורות זרימה. מושג זה חשוב משום שהוא יעזור לכם להבין את משוואת הרציפות.
קו זרם
תסתכלו על התמונה למטה, הקו הכחול הוא הסטרימינג.
בזרימה קבועה, המהירות של כל חלקיק נוזל בנקודה מסוימת, נניח נקודה A, נשארת קבועה. כשהוא עובר את נקודה B, מהירות חלקיקי הנוזל עשויה להשתנות. עם זאת, עם הגעתו לנקודה B, חלקיקי הנוזל הבאים אחריהם ממשיכים לזרום באותה מהירות כמו חלקיקי הנוזל שקדמו להם. אותו הדבר חל גם עם הגעה לנקודה C, וכן הלאה. קו הזרם הוא העקומה המחברת את נקודות A, B ו-C.
צינור זרימה
בעיקרון, נוכל לצייר כל זרם דרך כל נקודה בזרימת הנוזל. אם ניקח בחשבון זרימת נוזל קבועה, מספר קווי זרימה העוברים דרך זווית מסוימת על פני שטח דמיוני (שטח פנים דמיוני) יוצרים צינור זרימה. אין חלקיקי נוזל שחוצים זה את זה אלא תמיד מקבילים, וצינור הזרימה יידמה לצינור שתמיד בעל אותה צורה. נוזל הנכנס בקצה אחד של הצינור ייצא מהצינור בקצה השני.
חיוב
פריקה מציינת את נפח הנוזל הזורם דרך חתך מסוים בפרק זמן מסוים. מבחינה מתמטית, ניתן לבטא זאת באופן הבא:
כדי להעמיק את הבנתכם, בואו נשתמש בדוגמה. נניח שנוזל זורם דרך צינור. צינורות הם בדרך כלל גליליים ובעלי שטח חתך מסוים. לצינור יש גם אורך.
כאשר הנוזל זורם בצינור עד L, אז נפח הנוזל בצינור הוא V = AL (V = נפח הנוזל, A = שטח חתך ו-L = אורך הצינור). מכיוון שבמהלך הזרימה בצינור לאורך L הנוזל עובר מרווח זמן מסוים, אז נוכל לומר שגודל פריקת הנוזל הוא:
מכיוון ש-v = s/t = L/t —> L = vt, המשוואה לעיל משתנה ל:
לכן, כאשר נוזל זורם דרך צינור בעל שטח חתך ואורך מסוימים למשך פרק זמן מסוים, גודל פריקת הנוזל (Q) שווה לשטח הפנים של החתך (A) כפול מהירות זרימת הנוזל (v).
משוואת הרציפות
נבחן את זרימת הנוזל בצינור בעל קטרים שונים, כפי שמוצג באיור למטה.
תמונה זו מציגה זרימת נוזל משמאל לימין (נוזל זורם מצינור בקוטר גדול לצינור בקוטר קטן). הקווים המקווקווים הם קווי זרם.
כיתוב תמונה: A1 = שטח חתך של קטע הצינור בקוטר הגדול, A2 = שטח חתך של קטע הצינור בקוטר הקטן, v1 = מהירות זרימת הנוזל בקטע הצינור בקוטר הגדול, v2 = מהירות זרימת הנוזל בקטע הצינור בקוטר הקטן, L = המרחק שעבר הנוזל.
במבוא לדינמיקת זורמים, הוסבר שבדינמיקת זורמים, אנו דנים בזרימה של נוזלים שאינם דחיזים, בלתי צמיגים, לא טורבולנטיים ויציבים. בזרימה יציבה, מהירות חלקיקי הנוזל בנקודה זהה למהירות חלקיקי הנוזל האחרים העוברים דרך אותה נקודה. זרימות הנוזל גם אינן מצטלבות זו עם זו (קווי הזרימה מקבילים). לכן, מסת הנוזל הנכנסת לקצה אחד של הצינור חייבת להיות שווה למסת הנוזל היוצאת מהקצה השני. אם נוזל בעל מסה מסוימת נכנס לצינור בעל קוטר גדול, אז הנוזל ייצא מהצינור בעל קוטר קטן בעל מסה קבועה.
עכשיו, התבוננו בתמונה של הצינור למעלה. התבוננו בחלק הצינור בעל הקוטר הגדול ובחלק הצינור בעל הקוטר הקטן.
במהלך פרק זמן מסוים, כמות מסוימת של נוזל זורמת דרך קטע צינור בקוטר גדול (A).1) עד ל-L1 (L1 v v1 t). נפח הנוזל הזורם הוא V1 = א1 L1 = א1 v1 t. באותו פרק זמן, כמות נוספת של נוזל זורמת דרך קטע צינור בקוטר קטן יותר (A).2) עד ל-L2 (L2 v v2 t). נפח הנוזל הזורם הוא V2 = א2 L2 = א2 v2 t.
משוואת רציפות עבור נוזלים בלתי דחיזים (בלתי דחוס)
ראשית, בואו ניקח בחשבון את המקרה של נוזל בלתי דחיס. בנוזל בלתי דחיס, הצפיפות, או המסה, של הנוזל תמיד זהה בכל נקודה שהוא עובר דרכה. מסת הנוזל הזורם בצינור בעל שטח חתך A1 ( הקוטר הגדול של הצינור) במהלך פרק זמן מסוים היא:
באופן דומה, מסת הנוזל הזורמת בצינור בעל שטח חתך של A2 ( קוטר צינור קטן) במהלך פרק זמן מסוים היא:
בהתחשב בכך שבזרימה קבועה, מסת הנוזל הנכנס זהה למסת הנוזל היוצא, אז:
מטר 1 = מטר 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (צפיפות הנוזל ורווח הזמן זהים ולכן הם מבטלים זה את זה)
A 1 נגד 1 = A 2 נגד 2
לכן, בנוזלים בלתי דחיזים, משוואת הרציפות חלה:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — משוואה 1
מידע:
A1 = שטח חתך 1, A2 = שטח חתך 2, v1 = מהירות זרימת הנוזל בחתך 1, v2 = מהירות זרימת הנוזל בחתך 2, Av = קצב זרימת נפח V/t, הידוע גם כפלט.
משוואה 1 מראה שקצב הזרימה הנפחית, המכונה גם פריקה, תמיד זהה בכל נקודה לאורך צינור או צינור זרימה. ככל שחתך הצינור קטן, קצב הזרימה של הנוזל עולה; לעומת זאת, ככל שחתך הצינור גדל, קצב הזרימה של הנוזל יורד.
כאשר אנו סותמים חלקית את הברז, זרימת המים הופכת מהירה יותר מאשר כאשר הברז סגור חלקית. הסיבה לכך היא ששטח החתך של הברז קטן כאשר הברז סגור חלקית, מה שמגדיל את קצב זרימת המים (הנוזל זורם מהר יותר). הדבר נכון גם לגבי צינורות. עם זאת, חשוב לציין שקצב הזרימה הנפחי או הפריקה נשאר זהה בכל הנקודות לאורך זרימת המים, בין אם הברז סגור חלקית ובין אם לאו. לכן, מה שמשתנה הוא קצב זרימת הנוזל.
אז מה לגבי זרימת המים בנהר? לחלקים עמוקים יותר של נהר יש חתך רוחב גדול יותר מאשר לחלקים רדודים יותר, כך שקצב זרימת המים בקטעים עמוקים יותר נמוך יותר מאשר בקטעים רדודים יותר. אם רואים זרימה רגועה מאוד בנהר, פירוש הדבר שהנהר עמוק. אבל אם הנהר פתאום הופך לזורם במהירות, קטע זה בהחלט רדוד. עם זאת, קצב זרימת נפח המים תמיד זהה, בין אם בקטעים עמוקים או רגועים של הנהר.
משוואת רציפות עבור נוזלים דחיסים (דָחִיס)
במקרה של נוזלים דחיזים , צפיפות הנוזל אינה תמיד זהה. במילים אחרות, צפיפות הנוזל משתנה כאשר הוא דחוס. בעוד שבנוזלים בלתי דחיזים , צפיפות הנוזל מוסרת מהמשוואה, במקרה זה, צפיפות הנוזל עדיין כלולה. בהתייחס למשוואה שנגזרה קודם לכן, בואו נגזר את המשוואה עבור נוזלים דחיזים.
בהתחשב בכך שבזרימה קבועה, מסת הנוזל הנכנס זהה למסת הנוזל היוצא, אז:
מטר 1 = מטר 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
מרווח הזמן של זרימת הנוזל זהה ולכן ניתן לבטל אותו. המשוואה משתנה ל:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → משוואה 2
זוהי המשוואה עבור נוזל דחיס. ההבדל היחיד טמון בצפיפות הנוזל. כאשר נוזל נדחס, צפיפותו משתנה. לעומת זאת, כאשר נוזל אינו דחיס, צפיפותו נשארת קבועה וניתן לבטלה.
שאלה לדוגמה 1:
מים זורמים דרך צינור בקוטר 10 ס"מ במהירות של 2 מטר לשנייה. מהי ספיקת המים?
דִיוּן
ידוע כי:
קוטר צינור = 10 ס"מ (זהו הקוטר הפנימי של הצינור)
רדיוס הצינור (r) = 5 ס"מ = 0,05 מטר
מים = 2 מטר/שנייה
נשאל: חיוב
תשובה:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 מטר/שנייה)
Q = (3,14)(0,05 מטר) ² (2 מטר/שנייה)
Q = (3,14)(0,0025 מטר² ) (2 מטר/שנייה)
Q = 0,0157 מטר ³ / שנייה
שאלה לדוגמה 2:
צינור מים בקוטר 20 ס"מ מחובר לצינור אחר בקוטר 10 ס"מ. אם קצב זרימת המים בצינור בקוטר 20 ס"מ = 4 מטר/שנייה, מהו קצב זרימת המים בצינור בקוטר 10 ס"מ?
דִיוּן
ידוע כי:
קוטר 1 = 20 ס"מ (r1 = 10 ס"מ = 0,1 מטר)
v 1 = 4 מטר/שנייה
קוטר 2 = 10 ס"מ (r2 = 5 ס"מ = 0,05 מטר)
נשאל: גרסה 1
תשובה:
שאלה 1 = שאלה 2
A 1 נגד 1 = A 2 נגד 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 מטר) ² (4 מטר/שנייה) = (0,05 מטר) ² ( v² )
(0,01 מ"ר ) (4 מטר/שנייה) = (0,0025 מ"ר ) ( v2 )
(0,04 מטר ³ /שנייה) = (0,0025 מטר ² )( v² )
v 2 = 16 מטר/שנייה
