קביעת מקדם המתאם

קביעת מקדם המתאם: מבוא, שיטות ויישומים

מקדם המתאם הוא מדד סטטיסטי הקובע את עוצמת הקשר בין שני משתנים במערך נתונים. המתאמים נעים בין -1 ל-1. ערך מקדם קרוב ל-1 או -1 מציין קשר חזק בין שני המשתנים. ערך מקדם קרוב ל-0 מציין חוסר קשר חזק בין שני המשתנים. מאמר זה ידון במקדם המתאם, בשיטות לחישובו, בפרשנותו וביישומיו בתחומים שונים.

מבוא למקדם המתאם

מקדם המתאם נותן לנו תמונה מספרית של מידת הקשר הדוק בין שני משתנים. מקדמי המתאם מחולקים לשני סוגים עיקריים בהתבסס על כיוון הקשר:

1. מקדם מתאם חיובי: מציין שכאשר משתנה אחד עולה, גם המשתנה השני עולה.
2. מקדם מתאם שלילי: מציין שכאשר משתנה אחד עולה, המשתנה השני יורד.

ניתן לחלק את הקשר בין שני משתנים לשלושה סוגים בהתבסס על עוצמת הקשר:

1. מתאם חזק: המקדם קרוב ל-1- או 1.
2. מתאם בינוני: המקדם הוא בין -0.5 ל- -1 או 0.5 ל-1.
3. מתאם חלש: המקדם קרוב ל-0.

שיטה לחישוב מקדם המתאם

מספר שיטות נפוצות משמשות לחישוב מקדם המתאם, כולל המתאם של פירסון, המתאם של ספירמן ומתאם של קנדל. בואו נדון בכל אחת מהשיטות הללו ביתר פירוט.

1. מתאם פירסון
מקדם המתאם של פירסון משמש לעתים קרובות כאשר שני המשתנים רציפים ובעלי התפלגות נורמלית. הנוסחה למקדם המתאם של פירסון היא:

[ r = \frac {n(\Sigma xy) – (\Sigma x)(\Sigma y)}{ \sqrt{ [n \Sigma x^2 – (\Sigma x)^2] [n \Sigma y^2 – (\Sigma y)^2 ] } } \]

אֵיפֹה:
– \(r \) = מקדם המתאם,
– \(n \) = מספר זוגות נתונים,
– \( \Sigma xy \) = סכום המכפלות של זוגות הנתונים \( x \) ו- \( y \),
– \( \סיגמא x \) = סכום הערכים \( x \),
– \( \סיגמא y \) = סכום הערכים ​​( \y \),
– \( \סיגמא x^2 \) = סכום הריבועים של \( x \),
– \( \סיגמא y^2 \) = סכום הריבועים של \( \).

2. מתאם הדרגה של ספירמן
מקדם המתאם של ספירמן משמש עבור נתונים אורדינליים או כאשר לא ניתן לעמוד בהנחה של נורמליות. מתאם ספירמן מבוסס על דירוג ערכי נתונים ולא על ערכיהם בפועל. הנוסחה למקדם המתאם של ספירמן היא:

‏[ rho = 1 – \frac {6\Sigma d_i^2}{n(n^2-1)}]

אֵיפֹה:
– \( \rho \) = מקדם המתאם של ספירמן,
– \(d_i \) = הפרש בין דירוגי זוגות הנתונים \(x \) ו- \(y \),
– \(n \) = מספר זוגות הנתונים.

3. מתאם הטאו של קנדל
מקדם המתאם של קנדל מודד את עוצמת הקשר בין שני משתנים סדרתיים. בניגוד למקדם של ספירמן, המתאם של קנדל מתמקד יותר במספר הזוגות הקונקורדנטיים והדיסקונורדנטיים. הנוסחה למקדם המתאם של קנדל היא:

[\tau = \frac{ (C – D)} { \sqrt{(C + D + T) (C + D + U) } }]

אֵיפֹה:
– \( \tau \) = מקדם המתאם של קנדל,
– \( C \) = מספר זוגות קונקורדנטיים,
– \( D \) = מספר זוגות דיסקרונדנטיים,
– \(T \) = מספר זוגות הסדרות במשתנה \(x \),
– \( U \) = מספר זוגות הסדרות במשתנה \( y \).

פירוש מקדם המתאם

פירוש מקדם המתאם תלוי בערך המקדם המתקבל:

– מקדם +1: קשר חיובי מושלם.
– מקדם 0.7 עד 0.9: קשר חיובי חזק.
– מקדם 0.4 עד 0.6: קשר חיובי בינוני.
– מקדם 0.1 עד 0.3: קשר חיובי חלש.
– מקדם 0: אין קשר.
– מקדם -0.1 עד -0.3: קשר שלילי חלש.
– מקדם -0.4 עד -0.6: קשר שלילי בינוני.
– מקדם -0.7 עד -0.9: קשר שלילי חזק.
– מקדם -1: קשר שלילי מושלם.

יישום מקדם מתאם

למקדם המתאם מגוון רחב של יישומים בתחומים שונים, כולל כלכלה, מדעי החברה, בריאות, חינוך ועוד. הנה כמה דוגמאות:

1. כלכלה: קביעת הקשר בין אינפלציה לאבטלה, או בין הוצאות צרכנים להכנסה.
2. מדעי החברה: קביעת הקשר בין השכלה להכנסה, או בין מדיה חברתית לרווחה נפשית.
3. בריאות: השוואת הקשר בין הרגלי עישון למקרי סרטן ריאות, או בין אורח חיים פעיל לבריאות הלב.
4. חינוך: בחינת הקשר בין זמן הלימוד לתוצאות הבחינות, או בין גודל הכיתה להישגי התלמידים.

דוגמאות מעשיות באמצעות מערכי נתונים

נניח שיש לנו מערך נתונים הכולל ציוני מבחני מתמטיקה וזמן לימוד בשעות של 10 תלמידים כדלקמן:
""
שעות לימוד תלמידים ציוני מתמטיקה
1 5 85
2 3 78
3 6 90
4 2 76
5 4 80
6 6 88
7 5 85
8 3 82
9 7 91
10 5 87
""
אנו יכולים לחשב את מקדם המתאם של פירסון בין שעות לימוד וציון מתמטיקה. באמצעות נוסחת פירסון, אנו מחשבים תחילה את Σ( Σx ), Σ( Σy ), Σ( Σxy ), Σ( Σx^2 ) ו- Σ( Σy^2 ), ולאחר מכן מציבים ערכים אלה בנוסחה כדי לקבל את הערך של Σ(r).

מסקנה

מקדם המתאם הוא כלי רב עוצמה בניתוח נתונים לקביעת עוצמתו וכיוון הקשר בין שני משתנים. הבנת המושג, שיטות החישוב והפרשנות של מקדם המתאם חיונית לניתוח נתונים יעיל. עם הבנה נכונה, נוכל לקבוע טוב יותר מתאמים בין משתנים בתחומים שונים ולקבל החלטות מושכלות יותר המבוססות על נתונים.