שאלות לדוגמה הדנות בווקטורים דו-ממדיים במערכת קואורדינטות

שאלות לדוגמה הדנות בווקטורים דו-ממדיים במערכת קואורדינטות

וקטור הוא גודל שיש לו גם גודל וגם כיוון. וקטורים משמשים לעתים קרובות בנושאים שונים במתמטיקה ופיזיקה כדי לייצג תופעות שונות. במאמר זה נדון בדוגמאות של וקטורים דו-ממדיים במערכת קואורדינטות.

מושגים בסיסיים של וקטורים במערכות קואורדינטות
וקטור במערכת קואורדינטות דו-ממדית יכול להיות מיוצג כ- \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), כאשר \(a_1\) הוא רכיב ה-x של הווקטור ו- \(a_2\) הוא רכיב ה-y של הווקטור. ניתן לפרק את הווקטור לשני רכיבים, כלומר רכיב ה-x ורכיב ה-y.

חיבור וחיסור וקטוריים
חיבור שני וקטורים \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ו- \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) הוא:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
בעוד שההפחתה היא:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]

כפל סקלרי
אם \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ו- \(k\) הוא סקלר, אז \(k\vec{A}\) הוא:
\[
k\vec{A} = (k₁₀ a, k₁₀ a)
\]

גודל וקטורי
גודלו או אורכו של הווקטור \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) הוא:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

וקטור יחידה
וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו יחידה אחת. וקטור היחידה של \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) הוא:
\[
\hat{A} ​​​​= \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]

שאלות לדוגמה ודיון

שאלה 1: חיבור וחיסור של וקטורים
שני וקטורים נתונים כדלקמן: \(\vec{A} = (3, 4)\) ו- \(\vec{B} = (1, 2)\). מצא את המכפלה של \(\vec{A} + \vec{B}\) ו- \(\vec{A} – \vec{B}\).

דִיוּן:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]

שאלה 2: כפל סקלרי
בהינתן הווקטור C = (2, -3)), חשב את C ו- 2 vec{C).

דִיוּן:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
2-C = 2-(2, -3) = (4, 6)
\]

שאלה 3: גודל וקטורי
חשב את גודל הווקטור \(\vec{D} = (5, 12)\).

דִיוּן:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]

שאלה 4: וקטורי יחידה
מצא את וקטור היחידה של הווקטור \(\vec{E} = (4, 3)\).

דִיוּן:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]

שאלה 5: מיקום ומרחק של וקטורים
שתי נקודות במישור הקואורדינטות הדו-ממדי הן P(2, 3) ו-Q(5, 7). קבע את וקטור המיקום מנקודה P לנקודה Q ואת המרחק ביניהן.

דִיוּן:
וקטור המיקום מ-P ל-Q הוא:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
המרחק בין נקודות P ו-Q הוא:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

שאלה 6: תוצאת מכפלה נקודתית
אם \(\vec{F} = (-3, 4)\) ו- \(\vec{G} = (2, 1)\), חשב את המכפלה הנקודה של \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).

דִיוּן:
מכפלת הנקודה של שני וקטורים היא:
\[
\vec{F} \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]

שאלה 7: זווית בין שני וקטורים
אם \(\vec{H} = (7, -4)\) ו- \(\vec{I} = (3, 0)\), קבע את הזווית בין שני הווקטורים.

דִיוּן:
כדי לקבוע את הזווית בין שני וקטורים, נשתמש בנוסחה:
\[
‏\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
ראשית, חשב את המכפלה הנקודה \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
H = 7 ⋅ 3 + (-4) ⋅ 0 = 21 + 0 = 21
\]
לאחר מכן, חשב את הגדלים של \(\vec{H}\) ו- \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
הזן את הערכים הבאים לתוך הנוסחה:
\[
‏\cos\theta = \frac{21}{\sqrt{65} ⋅3 = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
אז, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).

שאלה 8: הטלתה וקטורית
עבור הווקטורים \(\vec{J} = (2, 1)\) ו- \(\vec{K} = (-1, 3)\), חשב את ההטלה של \(\vec{J}\) על \(\vec{K}\).

דִיוּן:
ההטלה של \(\vec{J}\) על \(\vec{K}\) היא:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
ראשית, חשב את המכפלה הנקודה \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
אז, גודל ה- \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
כְּדֵי,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
הזן לתוך הנוסחה:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( \frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]

אלו הן דוגמאות לבעיות ודיונים הקשורים לווקטורים דו-ממדיים במערכת קואורדינטות. הבנה טובה של וקטורים יכולה להיות מועילה ביישומים רבים במתמטיקה, פיזיקה והנדסה. תרגול עם דוגמאות שונות יכול להעמיק את הבנתכם את מושג זה, ולאפשר ליישמו ביעילות במגוון מצבים.