שאלות לדוגמה הדנות בשונות ובסטיית התקן של נתונים בודדים

שאלות לדוגמה ודיון: שונות וסטיית תקן של נתונים בודדים

סטטיסטיקה היא ענף במתמטיקה העוסק באיסוף, ניתוח, פירוש, הצגה וארגון של נתונים. שני מושגים חשובים בסטטיסטיקה הם שונות וסטיית תקן. מאמר זה ידון בפירוט כיצד לחשב את השונות וסטיית התקן של מערך נתונים יחיד באמצעות מספר בעיות לדוגמה.

הבנת שונות וסטיית תקן

שונות היא מדד שמכמת עד כמה המספרים בקבוצת נתונים מפוזרים מהממוצע. שונות מתבטאת ביחידות ריבועיות של הנתונים המקוריים, מה שמקשה לעתים קרובות על פרשנותה.

סטיית התקן היא השורש הריבועי של השונות. היא מספקת מדד אינטואיטיבי יותר למידת הסוטה של ​​הנתונים מהממוצע, מכיוון שיחידותיהם זהות ליחידות המקוריות של הנתונים.

נוסחה כללית

עבור נתונים בודדים, הנוסחה לשונות \( \sigma^2 \) וסטיית התקן \( \sigma \) של האוכלוסייה היא כדלקמן:

1. שונות (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

2. סטיית תקן (σ):
(סיגמא = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})

אֵיפֹה:
– \(N \) הוא מספר הנתונים באוכלוסייה.
– \(x_i \) הוא ערך הנתונים ה-i.
– \( \mu \) הוא הממוצע או הממוצע של הנתונים.

אם נחשב את השונות ואת סטיית התקן של המדגם, אז הנוסחה לעיל משתנה מעט:

1. שונות מדגם (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)

2. סטיית תקן מדגם (ים):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})

אֵיפֹה:
– \(n \) הוא מספר הנתונים במדגם.
– \( \bar{x} \) הוא הממוצע או הממוצע של המדגם.

שאלות לדוגמה ודיון

שאלה לדוגמה 1:

בהינתן הנתונים הבאים:
8, 10, 10, 10, 12, 14

חשב את השונות וסטיית התקן של הנתונים!

שלבי הפתרון:

1. חישוב הממוצע (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]

2. חשב את ההפרש בין הנתונים לממוצע, ולאחר מכן מעלה בריבוע:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]

3. חיבור כל התוצאות בריבוע:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]

4. חישוב השונות (σ²) של נתוני אוכלוסייה:
\[
סיגמא^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]

הערה: מכיוון שנתונים אלה מוצגים כנתוני אוכלוסייה, אנו מחלקים ב-6.

5. חישוב סטיית התקן (σ):
\[
סיגמא = 3.559 בערך 1.886
\]

לכן, השונות של הנתונים היא 3.559 וסטיית התקן היא 1.886.

שאלה לדוגמה 2:

בהינתן נתוני הדוגמה הבאים:
5, 6, 8, 9, 10, 11

חשב את השונות וסטיית התקן של המדגם!

שלבי הפתרון:

1. חישוב הממוצע (Mean) \( \bar{x} \):
\[
‏\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]

2. חשב את ההפרש בין הנתונים לממוצע, ולאחר מכן מעלה בריבוע:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]

3. חיבור כל התוצאות בריבוע:
\[
סכום (x_i – x)^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]

4. חישוב שונות המדגם (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]

הערה: מכיוון שמדובר בנתוני דוגמה, נחלק ב-5 (n-1).

5. חישוב סטיית התקן (s):
\[
s = 5.351 בערך 2.313
\]

לכן, השונות של נתוני המדגם היא 5.351 וסטיית התקן היא 2.313.

מסקנה

חישוב השונות וסטיית התקן חיוני להבנת פיזור הנתונים בתוך קבוצה נתונה. בעוד ששונות מספקת מדד תיאורטי של פיזור בריבועים של היחידות המקוריות, סטיית התקן מפרשת את מדד הפיזור במונחים של היחידות המקוריות של הנתונים, מה שמקל על ההבנה. בניתוח נתונים, שני מדדים אלה משמשים לעתים קרובות להערכת שונות הנתונים ולקבלת החלטות סטטיסטיות.

על ידי הבנת השלבים והנוסחאות הנדרשים, נוכל לחשב בקלות שונות וסטיית תקן עבור מצבים שונים שאנו נתקלים בהם באיסוף וניתוח נתונים יומיומיים. יש לקוות, מאמר זה מספק הבנה מעמיקה יותר של מושגי השונות וסטיית התקן במערכי נתונים בודדים.