דוגמה לשאלות דיון בתורת היחסות
תורת היחסות היא אחד המושגים הבסיסיים ביותר בפיזיקה המודרנית, שהוצג על ידי אלברט איינשטיין בתחילת המאה ה-20. מאמר זה ידון בתורת היחסות וכיצד היא חלה על חיי היומיום באמצעות בעיות לדוגמה והסברים.
מבוא לתורת היחסות
תורת היחסות מורכבת משני חלקים עיקריים: תורת היחסות הפרטית ותורת היחסות הכללית. תורת היחסות הפרטית, שפורסמה בשנת 1905, חוללה מהפכה בהבנתנו את המרחב והזמן. בתיאוריה זו, איינשטיין קבע כי מהירות האור היא מגבלת המהירות האולטימטיבית שלא ניתן לחרוג ממנה וכי חוקי הפיזיקה זהים עבור כל הצופים הנעים במהירות קבועה.
בינתיים, תורת היחסות הכללית, שהוצגה בשנת 1915, עוסקת בכוח הכבידה. על פי תיאוריה זו, כוח הכבידה אינו כוח מסורתי, אלא עקמומיות של מרחב-זמן הנגרמת על ידי מסה.
הבנת מושג בסיסי זה חשובה מאוד לפני שנעבור לשאלות לדוגמה ולדיון בהן.
שאלות לדוגמה ודיון
שאלה 1: התארכות זמן
פרטניאן:
אסטרונאוט טס לכוכב רחוק במהירות של 0,8c (כאשר c היא מהירות האור). אם המסע אורך 10 שנות כדור הארץ, כמה זמן חווה האסטרונאוט לפי שעונו שלו (הזמן הנכון)?
דִיוּן:
התארכות זמן היא תופעה המתרחשת עקב הבדלים במהירות יחסית בין שני צופים. הזמן עובר לאט יותר עבור עצם הנע יחסית לצופה נייח.
הנוסחה להתארכות זמן היא:
[Δt' = \frac{Δt}{λ{1 – \frac{v^2}{c^2}]
אֵיפֹה:
– \(\Deltat'\) הוא הזמן הנצפה של עצם נע.
– \(\Delta t\) הוא הזמן הנצפה של עצם נייח.
– \(v\) היא מהירות העצם הנע.
– \(c\) היא מהירות האור.
חברו את הערכים הידועים לנוסחה:
\[v = 0,8c \]
\[ \דלתא t = 10 \, \text{שנה} \]
[Δt' = \frac{10}{\sqrt{1 – \frac{(0,8c)^2}{c^2}}}]
\[ \Deltat' = \frac{10}{\sqrt{1 – 0,64}}\]
[Δt' = \frac{10}{\sqrt{0,36}]
\[ \Deltat' = \frac{10}{0,6}\]
\[ \דלתא t' \בקירוב 16.67 \, \text{שנה}\]
אז, הזמן שחווה האסטרונאוט לפי שעונו הוא כ-16,67 שנים.
שאלה 2: התכווצות אורך
פרטניאן:
גוף הוא באורך 100 מטרים והוא נמדד במצב מנוחה. אם הגוף נע במהירות של 0,6 מעלות צלזיוס, מהו אורכו של הגוף על פי צופה נייח?
דִיוּן:
התכווצות אורך היא תופעה שבה אורכו של גוף בתנועה יחסית לצופה קצר יותר מאשר כאשר הגוף נמצא במנוחה.
הנוסחה להתכווצות אורך היא:
\[ L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
אֵיפֹה:
– \(L\) הוא אורך העצם הנע.
– \(L_0\) הוא האורך המתאים (אורך העצם כאשר הוא במנוחה).
– \(v\) היא מהירות העצם.
– \(c\) היא מהירות האור.
חברו את הערכים הידועים לנוסחה:
\[ L_0 = 100 \, \text{מטר} \]
\[v = 0,6c \]
\[ L = 100 \sqrt{1 – \frac{(0,6c)^2}{c^2}}\]
\[ L = 100 \sqrt{1 – 0,36}\]
\[L = 100 \sqrt{0,64}\]
\[L = 100 \x 0,8\]
\[ L = 80 \, \text{מטר}\]
אז, אורך העצם הנע על פי צופה נייח הוא 80 מטרים.
שאלה 3: מסה רלטיביסטית
פרטניאן:
לחלקיק יש מסת מנוחה של 2 ק"ג. אם חלקיק זה נע במהירות של 0,9 מעלות צלזיוס, מהי המסה היחסותית של החלקיק?
דִיוּן:
מסה רלטיביסטית היא המסה של גוף שגדלה ככל שהוא מתקרב למהירות האור.
נוסחת המסה היחסותית היא:
[m = \frac{m_0}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}]
אֵיפֹה:
– \(m\) היא המסה היחסותית.
– \(m_0\) היא מסת המנוחה (מסה אובייקטיבית).
– \(v\) היא מהירות העצם.
– \(c\) היא מהירות האור.
חברו את הערכים הידועים לנוסחה:
[מ' = 2, ק"ג]
\[v = 0,9c \]
[m = \frac{2}{\sqrt{1 – \frac{(0,9c)^2}{c^2}}}]
\[m = \frac{2}{\sqrt{1 – 0,81}}\]
\[m = \frac{2}{\sqrt{0,19}}\]
\[ מ \בערך \frac{2}{0,436}\]
\[ מטר \כ-4,59 \, \text{ק"ג}\]
אז, המסה היחסותית של החלקיק בתנועה במהירות של 0,9c היא כ-4,59 ק"ג.
שאלה 4: E=mc^2
פרטניאן:
כמה אנרגיה מופקת אם גרם אחד של חומר נהרס לחלוטין לפי נוסחת איינשטיין \(E=mc^2\)?
דִיוּן:
הנוסחה המפורסמת של איינשטיין, \(E=mc^2\) נותנת קשר ישיר בין מסה (m) לאנרגיה (E), כאשר \(c\) היא מהירות האור.
במערכת היחידות הבינלאומית (SI):
– מסה (מ') נמדדת בקילוגרמים (ק"ג).
– מהירות האור (c) היא 3 × 10⁻⁶ מטר לשנייה.
בואו נחשב את האנרגיה המופקת מגרם אחד של חומר:
גרם אחד = 0,001 ק"ג
\[ E = mc^2 \]
\[ E = (0,001) (3 \× 10^8)^2 \]
\[ E = (0,001) (9 כפול 10^{16}) \]
\[ E = 9 \× 10^{13} \, \text{ג'אול} \]
לכן, האנרגיה המופקת אם גרם אחד של חומר נהרס לחלוטין היא 9 ג'אול כפול 10 ג'אול.
מסקנה
תורת היחסות היא מושג יסודי וחשוב בפיזיקה, בעל השלכות עמוקות על מגוון רחב של תופעות פיזיקליות. באמצעות הדוגמאות שנדונו לעיל, ראינו כיצד ניתן להשתמש בתורת היחסות הפרטית כדי להבין התארכות זמן, התכווצות אורך, מסה רלטיביסטית והקשר בין מסה לאנרגיה.
על ידי הבנה ותרגול של בעיות אלו, נוכל להעריך טוב יותר את יופיה של תורת היחסות ואת השלכותיה על הבנת היקום.
