שאלות לדוגמה ודיון על תורת היחסות של איינשטיין
תורת היחסות של איינשטיין היא אחת התיאוריות הבסיסיות ביותר בפיזיקה המודרנית, ומשנה את האופן שבו אנו מבינים את המרחב והזמן. היא מורכבת משני חלקים: תורת היחסות הפרטית (1905) ותורת היחסות הכללית (1915). במאמר זה נדון במספר דוגמאות הכרוכות בתורת היחסות של איינשטיין ונדון בהן כדי לספק הבנה מעמיקה יותר.
תורת היחסות הפרטית
תורת היחסות הפרטית עוסקת בעצמים הנעים במהירויות קבועות המתקרבות למהירות האור. שתי תוצאות מרכזיות של תיאוריה זו הן התארכות זמן והתכווצות אורך.
1. התארכות זמן
אם ישנם שני צופים, אחד נייח על כדור הארץ ואחד נע במהירות גבוהה, הם ימדדו זמנים שונים עבור אותו אירוע.
דוגמה לבעיות:
אסטרונאוט נע במהירות פי 0.8 ממהירות האור (c) לעבר כוכב המרוחק 10 שנות אור מכדור הארץ. כמה זמן לוקח לאסטרונאוט להגיע לכוכב?
דִיוּן:
ראשית, נחשב את הזמן הנמדד על ידי צופה על פני כדור הארץ:
[t_B = \frac{d}{v} = \frac{10 \text{ שנות אור}}{0.8 \, c} = 12.5 \text{ שנים} \]
כדי לחשב את הזמן שנמדד על ידי האסטרונאוט (התארכות זמן), אנו משתמשים בנוסחה:
\[ t_A = t_B \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
החלפת ערכים ידועים:
\[ t_A = 12.5 \sqrt{1 – (0.8)^2} \]
\[ t_A = 12.5 \sqrt{1 – 0.64} \]
\[ t_A = 12.5 \sqrt{0.36} \]
\[ t_A = 12.5 \× 0.6 \]
\[ t_A = 7.5 \text{ שנים} \]
אז, הזמן שנמדד על ידי האסטרונאוטים היה 7.5 שנים.
2. צירים ארוכים
כאשר גוף נע במהירות המתקרבת למהירות האור, אורכו ייראה קצר יותר לצופה נייח.
דוגמה לבעיות:
חללית שאורכה בפועל 10 מטרים נעה במהירות פי 0.9 ממהירות האור. מה יהיה אורך החללית עבור צופה על כדור הארץ?
דִיוּן:
כדי לחשב את התכווצות האורך, נשתמש בנוסחה:
\[ L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]
אֵיפֹה:
– \(L_0 \) הוא האורך המתאים או האורך בפועל (10 מטרים),
– \(v \) היא מהירות המטוס (0.9c).
החלפת ערכים ידועים:
\[ L = 10 \sqrt{1 – (0.9)^2} \]
\[ L = 10 \sqrt{1 – 0.81} \]
\[L = 10 \sqrt{0.19} \]
\[L = 10 \× 0.436 \]
\[ L = 4.36 \text{ מטרים} \]
אז, אורך המטוס על פי משקיפים על כדור הארץ הוא 4.36 מטרים.
תורת היחסות הכללית
תורת היחסות הכללית דנה בכוח המשיכה, שבה המרחב והזמן מושפעים על ידי מסה ואנרגיה.
3. עדשת כבידה
עדשות כבידה מתרחשות כאשר אור מעצם מרוחק מכופף על ידי כוח המשיכה של עצם מסיבי כמו גלקסיה או חור שחור.
דוגמה לבעיות:
לגלקסיה A יש מסה מספקת כדי להסיט אור מקוואזר B, שנמצא מאחוריה. אם זווית ההסטה היא 1.5 שניות קשת, מהי המסה של גלקסיה A? (השתמשו בקבוע הכבידה של ניוטון G = 6.674×10^-11 N(m/kg)^2, מהירות האור c = 3×10^8 m/s)
דִיוּן:
ניתן לתת את זווית ההסטה θ על ידי הנוסחה:
[תטא = \frac{4GM}{c^2 R}]
אֵיפֹה:
– \(G \) הוא קבוע הכבידה,
– \(M \) היא המסה של הגלקסיה,
– \(c \) היא מהירות האור,
– \(R \) הוא המרחק הקרוב ביותר בין האור למרכז הגלקסיה.
מכיוון שאנו רוצים למצוא את M, נסדר מחדש את הנוסחה:
\[ M = \frac{\theta c^2 R}{4G} \]
נניח ש-R הוא 5×10^20 מטרים (המרחק הממוצע של גלקסיות). המר θ מקשת-שניות לרדיאנים (קשת-שנייה אחת = 4.848×10^-6 רדיאנים):
[תטא = 1.5 × 4.848 × 10⁻⁶, רדיאנים = 7.272 × 10⁻⁶, רדיאנים]
החלפת ערכים ידועים:
[M = (7.272 × 10^{-6}) (3 × 10^{8)^2 (5 × 10^{20})}{4 × 6.674 × 10^{-11}}]
[M = (7.272 × 10⁻⁶) (9 × 10⁻⁶) (5 × 10⁻⁶)/26.696 × 10⁻⁶]
[M = (3.2764 × 10⁻¹)/26.696 × 10⁻¹]
M = 1.227 כפול 10⁻⁴⁻¹, ק"ג
אז, המסה של גלקסיה A היא כ-1.227×10^41 קילוגרם.
4. תהילת הפריהליון של מרקורי
תורת היחסות הכללית יכולה גם להסביר את הנקיפה של מסלולו של כוכב הלכת מרקורי, דבר שלא ניתן להסביר באמצעות מכניקה ניוטונית.
דוגמה לבעיות:
מהו גודל ההסטה הפריהליון של כוכב חמה כפי שמוסבר על ידי תורת היחסות הכללית? (פרמטר יחס A: 43 שניות קשת למאה)
דִיוּן:
השתמשו בנתונים שסופקו ישירות:
על פי תורת היחסות הכללית של איינשטיין, ההסטה הפריהליונית המתוארת של חמה היא 43 שניות קשת למאה שנה, וזה גם תואם את תוצאות התצפית.
סיכום:
על ידי השלמת בעיות לדוגמה ודיונים אלה, נוכל לראות כיצד תורת היחסות של איינשטיין מספקת הבנה עמוקה יותר של זמן, אורך וכוח משיכה. תיאוריה זו לא רק שינתה את השקפתנו המדעית על היקום, אלא גם בעלת יישומים מעשיים בטכנולוגיה מודרנית, כגון מערכות ניווט GPS, הדורשות תיקונים רלטיביסטיים כדי לתפקד במדויק. לימוד והבנה של תורת היחסות של איינשטיין הן צעד חשוב בהעמקה בעולם המורכב של הפיזיקה.
