דוגמה לשאלת דיון בנושא אחוזונים של נתוני קבוצה

דוגמה לשאלות הדנות באחוזונים של נתוני קבוצה

אחוזונים הם מדד למיקום בסטטיסטיקה המשמש להבנת התפלגות נתונים. במאמר זה נדון בפירוט כיצד לקבוע אחוזונים עבור נתונים מקובצים. נכלול מספר דוגמאות לבעיות והסברים להן כדי להבהיר מושג זה. נתחיל בהבנה בסיסית של אחוזונים ולאחר מכן נעבור לדוגמאות ולהסברים שלהן.

הבנת אחוזונים

אחוזון הוא ערך המחלק את הנתונים ל-100 חלקים שווים. כלומר, האחוזון ה-n הוא הערך שמתחתיו n% מהנתונים בהתפלגות נופלים. לדוגמה, אם לנתונים יש את האחוזון ה-25 (P25), פירוש הדבר ש-25% מהנתונים נופלים מתחת לערך זה.

בנתונים מקובצים, אנו משתמשים לעתים קרובות בטבלאות התפלגות שכיחות כדי לארגן את הנתונים ולאחר מכן לקבוע את האחוזונים הרלוונטיים. טבלאות אלו מציגות את הנתונים במרווחי מחלקה ספציפיים, ומאפשרות לנו להבין את התפלגות הנתונים בצורה מקיפה יותר.

נוסחת אחוזונים בנתוני קבוצה

הנוסחה הכללית לקביעת האחוזון ה-n (Pn) בנתוני קבוצה היא כדלקמן:

\[
P_n = L + (\frac{nN – \sum f_{\text{לפני}}}{f_{k}} right) \× c
\]

אֵיפֹה:
– \(P_n\) הוא האחוזון ה-n.
– \(L\) הוא הקצה התחתון של מרווח המחלקה האחוזוני.
– \(n\) הוא האחוזון הרצוי (למשל, עבור P25, n = 25).
– \(N\) הוא המספר הכולל של תדרים מצטברים.
– \(\sum f_{\text{לפני}}\) היא התדירות המצטברת לפני מרווח המחלקה האחוזוני.
– \(f_{k}\) היא התדירות של מרווח המחלקה האחוזוני.
– \(c\) הוא אורך מרווח המחלקה.

דוגמה לבעיות

כדי להבין טוב יותר, בואו נסתכל על השאלה לדוגמה הבאה ונדון בה בפירוט.

שאלה לדוגמה 1

בסקר, התקבלו נתונים בנוגע לגובה (בס"מ) של 100 תלמידי תיכון בכיתה י' כדלקמן:

| מרווח בין כיתות | תדירות |
|——————-|———–|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 8 |
| 160 – 164 | 12 |
| 165 – 169 | 20 |
| 170 – 174 | 30 |
| 175 – 179 | 15 |
| 180 – 184 | 10 |

חשב את האחוזון ה-40 (P40) של הנתונים.

צעדים לפתרון

1. קבע את התדירות המצטברת עבור כל מחלקה:

| מרווח כיתה | תדירות | תדירות מצטברת |
|——————-|————–|————————|
| 150 – 154 | 5 | 5 |
| 155 – 159 | 8 | 13 |
| 160 – 164 | 12 | 25 |
| 165 – 169 | 20 | 45 |
| 170 – 174 | 30 | 75 |
| 175 – 179 | 15 | 90 |
| 180 – 184 | 10 | 100 |

2. זהו את מרווח הכיתה האחוזוני (P40):
מכיוון שאנו מחפשים את P40, אנו זקוקים ל-40% מתוך 100 התלמידים, שהם 40 תלמידים. אם נסתכל על טבלת השכיחות המצטברת, נמצא ש-40 תלמידים נמצאים בטווח הכיתות 165 - 169 ס"מ מכיוון ש-45 היא השכיחות המצטברת הראשונה שעולה על 40.

3. מצא את הערכים הנדרשים בנוסחה:
– \(L = 164.5\)
– \(nN = 40\)
– \(\sum f_{\text{לפני}} = 25\)
– \(f_k = 20\)
– \(c = 5\)

4. הזינו את הערכים לתוך הנוסחה:

\[
P_{40} = 164.5 + (\frac{40 – 25}{20} \right) \x 5
\]

\[
P_{40} = 164.5 + (\frac{15}{20} \right) \× 5
\]

\[
P_{40} = 164.5 + 0.75 כפול 5
\]

\[
P_{40} = 164.5 + 3.75
\]

\[
P_{40} = 168.25
\]

אז, האחוזון ה-40 (P40) של הנתונים הוא 168.25 ס"מ.

שאלה לדוגמה 2

נניח שיש נתוני ציוני מבחן במתמטיקה מקבוצה של 200 תלמידים:

| מרווח בין כיתות | תדירות |
|——————-|———–|
| 40 – 44 | 10 |
| 45 – 49 | 18 |
| 50 – 54 | 32 |
| 55 – 59 | 45 |
| 60 – 64 | 50 |
| 65 – 69 | 25 |
| 70 – 74 | 12 |
| 75 – 79 | 8 |

חשב את האחוזון ה-75 (P75) של הנתונים.

צעדים לפתרון

1. קבע את התדירות המצטברת עבור כל מחלקה:

| מרווח כיתה | תדירות | תדירות מצטברת |
|——————-|————–|————————|
| 40 – 44 | 10 | 10 |
| 45 – 49 | 18 | 28 |
| 50 – 54 | 32 | 60 |
| 55 – 59 | 45 | 105 |
| 60 – 64 | 50 | 155 |
| 65 – 69 | 25 | 180 |
| 70 – 74 | 12 | 192 |
| 75 – 79 | 8 | 200 |

2. זהו את מרווח הכיתה האחוזוני (P75):
מכיוון שאנחנו מחפשים את P75, אנחנו צריכים 75% מתוך 200 התלמידים, שהם 150 תלמידים. אם מסתכלים על התדירות המצטברת, נמצא ש-150 תלמידים נופלים בטווח הכיתות 60 - 64.

3. מצא את הערכים הנדרשים:
– \(L = 59.5\)
– \(nN = 150\)
– \(\sum f_{\text{לפני}} = 105\)
– \(f_k = 50\)
– \(c = 5\)

4. הזינו את הערכים לתוך הנוסחה:

\[
P_{75} = 59.5 + (\frac{150 – 105}{50} \right) \x 5
\]

\[
P_{75} = 59.5 + (\frac{45}{50} \right) \× 5
\]

\[
P_{75} = 59.5 + 0.9 כפול 5
\]

\[
P_{75} = 59.5 + 4.5
\]

\[
P_{75} = 64
\]

אז, האחוזון ה-75 (P75) של הנתונים הוא 64.

מסקנה

במאמר זה, דנו כיצד לקבוע אחוזונים עבור נתונים מקובצים באמצעות נוסחאות וכמה בעיות לדוגמה. אחוזונים הם כלי שימושי בסטטיסטיקה להבנת התפלגות נתונים ולקביעת המיקום היחסי של ערכי נתונים. על ידי הבנת אופן חישוב האחוזונים בנתונים מקובצים, נוכל לנתח את הנתונים בצורה מקיפה יותר. אנו מקווים שבעיות לדוגמה ודיון אלה עזרו לכם להבין טוב יותר את מושג האחוזונים בנתונים מקובצים.