שאלות לדוגמה ודיון על רבעוני נתונים בודדים
רבעונים בסטטיסטיקה הם כלי המשמש לחלוקת מערך נתונים לארבעה חלקים, או רבעונים, שכל אחד מהם מכיל את אותה כמות נתונים. רבעונים משמשים לעתים קרובות להבנת התפלגות נתונים ולהשוואת ערכים בתוך מערך נתונים גדול יותר. במאמר זה נדון כיצד לחשב רבעונים עבור מערך נתונים יחיד באמצעות מספר דוגמאות. נראה כיצד מחושבים ומפורשים הרבעון הראשון (Q1), הרבעון השני (Q2, המכונה גם החציון) והרבעון השלישי (Q3).
הגדרת רבעון
לפני שנעבור לבעיות הדוגמה, חשוב להבין את ההגדרות של שלושת הרבעונים במערך נתונים:
1. רבעון ראשון (Q1): מיקומי נתונים מתחת לרבעון 1 מכסים 25% מהנתונים מכלל מערך הנתונים.
2. רבעון שני (רבעון 2 או חציון): מיקומי נתונים מתחת לרבעון 2 מכסים 50% מהנתונים מכלל מערך הנתונים.
3. רבעון שלישי (Q3): מיקומי נתונים מתחת לרבעון 3 מכסים 75% מהנתונים מכלל מערך הנתונים.
שלבים לחישוב רבעונים
כדי לחשב רבעונים, השלבים שיש לבצע כוללים:
1. מיין נתונים: ודא שהנתונים ממוינים מהערך הקטן ביותר לגדול ביותר.
2. קביעת מיקום הרבעון: השתמש בנוסחה כדי לקבוע את מיקום הרבעון.
– מיקום Q1 = (N+1) / 4
– מיקום Q2 = (N+1) / 2
– מיקום Q3 = 3(N+1) / 4
כאשר N הוא המספר הכולל של נתונים.
3. לקיחת ערכי רבעון: בהתבסס על המיקומים המחושבים, קח או אינטרפולציה של ערכי הרבעון.
שאלות לדוגמה ודיון
שאלה לדוגמה 1
נניח שיש את הנתונים הבודדים הבאים: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 29.
שלב 1: מיון נתונים
הנתונים ממוינים: 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 29
שלב 2: קביעת מיקום הרבעונים
מספר הנתונים (N) הוא 10.
– מיקום Q1 = (10+1) / 4 = 11 / 4 = 2.75
– מיקום Q2 = (10+1) / 2 = 11 / 2 = 5.5
– מיקום Q3 = 3(10+1) / 4 = 33 / 4 = 8.25
שלב 3: לקיחת ערכי רבעון
– Q1: המיקום 2.75 מציין ש-Q1 ממוקם בין הנתון השני לשלישי ברצף. הנתון השני הוא 7 והנתון השלישי הוא 8. לכן, Q1 = 7 + 0.75(8-7) = 7.75.
– Q2 (חציון): מיקום 5.5 מציין ש-Q2 ממוקם בין הנתון החמישי ל-6. הנתון החמישי הוא 13 והנתון השישי הוא 14. לכן, Q2 = 13 + 0.5(14-13) = 13.5.
– Q3: המיקום 8.25 מציין ש-Q3 ממוקם בין הנתונים השמיני וה-9. הנתונים השמיני הם 21 והנתונים התשיעי הם 23. לכן, Q3 = 21 + 0.25(23-21) = 21.5.
שאלה לדוגמה 2
הנתונים הבאים ניתנים: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.
שלב 1: מיון נתונים
הנתונים ממוינים: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
שלב 2: קביעת מיקום הרבעונים
מספר הנתונים (N) הוא 11.
– מיקום Q1 = (11+1) / 4 = 12 / 4 = 3
– מיקום Q2 = (11+1) / 2 = 12 / 2 = 6
– מיקום Q3 = 3(11+1) / 4 = 36 / 4 = 9
שלב 3: לקיחת ערכי רבעון
– Q1: מיקום 3 פירושו ש-Q1 הוא הנתון התשיעי. לכן Q1 = 6.
– Q2 (חציון): מיקום 6 פירושו ש-Q2 הוא הנתון השישי. לכן Q2 = 12.
– Q3: מיקום 9 פירושו ש-Q3 הוא הנתון התשיעי. לכן Q3 = 18.
פירוש רבעונים
לאחר קבלת הערכים של Q1, Q2 ו-Q3, נוכל להשתמש בהם כדי לנתח את הנתונים. לדוגמה:
1. טווח בין-רבעוני (IQR): הוא ההפרש בין רבעון 3 לרבעון 1. IQR = רבעון 3 – רבעון 1. IQR משמש לזיהוי התפלגות נתונים ולזיהוי חריגים.
2. חריגים: נתונים הרחוקים מנתונים אחרים ניתנים לזיהוי באמצעות גבולות תחתונים ועליונים.
– גבול תחתון = Q1 – 1.5 IQR
– גבול עליון = Q3 + 1.5 IQR
נתונים שנמצאים מחוץ לגבולות אלה נחשבים לחריגים.
יישום של IQR בשאלה לדוגמה 1
– IQR = Q3 – Q1 = 21.5 – 7.75 = 13.75
– גבול תחתון = 7.75 – 1.5(13.75) = 7.75 – 20.625 = -12.875
– גבול עליון = 21.5 + 1.5 (13.75) = 21.5 + 20.625 = 42.125
נתונים -12.875 עד 42.125 הם התפלגות נורמלית ללא חריגים בשאלה 1 לדוגמה.
יישום של IQR בשאלה לדוגמה 2
– IQR = Q3 – Q1 = 18 – 6 = 12
– גבול תחתון = 6 – 1.5(12) = 6 – 18 = -12
– גבול עליון = 18 + 1.5 (12) = 18 + 18 = 36
נתונים -12 עד 36 הם התפלגות נורמלית ללא חריגים בשאלה 2 לדוגמה.
מסקנה
הבנה וחישוב של רבעונים עוזרים לזהות את התפלגות הנתונים ולנתח היבטים שונים של התפלגות נתונים. במאמר זה, נחקור את השלבים הכרוכים בחישוב רבעונים עבור מערך נתונים יחיד באמצעות מספר בעיות לדוגמה ודיון בהן. שלבים אלה כוללים מיון הנתונים, קביעת מיקום הרבעונים וחישוב ערכי הרבעונים המתאימים. כאשר מיושמים נכון, רבעונים הופכים לכלי אנליטי חשוב בסטטיסטיקה להשגת הבנה מעמיקה יותר של מערך נתונים.
