שאלות לדוגמה הדנות בכוח על מטען נע
פנדהולואן
פיזיקה היא חקר תופעות טבע, כולל הכוחות הפועלים על עצמים. נושא מעניין אחד הנדון לעתים קרובות הוא הכוח על מטענים נעים, במיוחד בהקשר של שדות חשמליים ומגנטיים. הכוח הפועל על מטען נע בשדה חשמלי או מגנטי ידוע ככוח לורנץ. מאמר זה ידון בכמה בעיות לדוגמה ובדיון בהן בנוגע לכוח הפועל על מטענים נעים.
כוח לורנץ
כוח לורנץ הוא שילוב של הכוח החשמלי והכוח המגנטי הפועלים על מטען הנע בשדה חשמלי ובשדה מגנטי. מבחינה מתמטית, ניתן לבטא את כוח לורנץ (F) באמצעות המשוואה:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
אֵיפֹה:
– \( \mathbf{F} \) הוא כוח לורנץ
– \(q \) הוא המטען
– \( \mathbf{E} \) הוא השדה החשמלי
– \( \mathbf{v} \) היא מהירות המטען
– \( \mathbf{B} \) הוא השדה המגנטי
בעזרת משוואה זו, נוכל לנתח את הכוחות הפועלים על מטען הנע בשדה חשמלי ובשדה מגנטי.
שאלות לדוגמה ודיון
שאלה 1: כוח על מטען בשדה חשמלי
שְׁאֵלָה:
מטען חיובי (q = 2 × 10⁻⁶, C) נמצא בשדה חשמלי אחיד (E = 5 × 10⁻⁴, N/C) המכוון ימינה. חשב את הכוח הפועל על המטען.
דִיוּן:
עבור מטען בשדה חשמלי ללא נוכחות שדה מגנטי, כוח לורנץ מורכב רק מרכיב הכוח החשמלי:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} \]
עם (q = 2 × 10⁻⁶, C) ו- (E = 5 × 10⁻⁴, N/C):
[\mathbf{F} = (2 \× 10^{-6} \, C) \× (5 \× 10^4 \, N/C) \]
\[ \mathbf{F} = 0.1 \, N \]
כיוון הכוח \( \mathbf{F} \) הוא באותו כיוון כמו השדה החשמלי מכיוון שהמטען חיובי. לכן, הכוח הפועל על המטען הוא 0.1 ניוטון ימינה.
שאלה 2: כוח על מטען בשדה מגנטי
שְׁאֵלָה:
מטען שלילי (q = -3 × 10-6, C) נע במהירות (v = 2 × 10-3, מטר/שנייה) לאורך ציר ה-x בשדה מגנטי אחיד (B = 0.5, T) המכוון לאורך ציר ה-z. חשב את הכוח הפועל על המטען.
דִיוּן:
עבור מטען הנע בשדה מגנטי ללא נוכחות שדה חשמלי, כוח לורנץ מורכב רק מרכיבי הכוח המגנטי:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
כאשר (q = -3 × 10-6, C), (v = 2 × 10-3, מטר/שנייה) בכיוון x, ו- (B = 0.5, T) בכיוון z:
חישוב \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
[\mathbf{v} = 2 \× 10^3 \, מטר/שנייה \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{B} = 0.5 \, T \, \hat{k} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = (2 \mathbf{10^3 \, מטר/שנייה \, ht{i}) \mathbf{(0.5 \, T \, ht{k})]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 2 \times 10^3 \, מטר/שנייה \times 0.5 \, T \, \hat{i} \times \hat{k} \]
[ \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = – (1 \mathbf{10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{j} \]
אז, הכוח המגנטי:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]
[\mathbf{F} = (-3 \× 10^{-6}C) \× (-10^3 \, T ⋅ מטר/שנייה \, \hat{j})]
\[ \mathbf{F} = 3 \times 10^{-3} \, N \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{F} = 0.003 \, N \, \hat{j} \]
כיוון הכוח \( \mathbf{F} \) הוא לכיוון ציר ה-y החיובי. לכן, הכוח הפועל על המטען הוא 0.003 ניוטון כלפי מעלה (בכיוון ציר ה-y החיובי).
שאלה 3: כוח על מטען בשדות חשמליים ומגנטיים
שְׁאֵלָה:
מטען חיובי (q = 1.5 × 10⁻⁶, C) נע במהירות (v = 4 × 10⁴, מטר/שנייה) בכיוון ה-y בשדה חשמלי (E = 3 × 10⁴, N/C) בכיוון ה-x, ושדה מגנטי (B = 0.2, T) בכיוון ה-z. חשב את הכוח נטו הפועל על המטען.
דִיוּן:
כוח לורנץ כולל:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
ראשית, חשב את \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
[\mathbf{v} = 4 \× 10^3 \, מטר/שנייה \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{B} = 0.2 \, T \, \hat{k} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = (4 \mathbf{10^3 \, מטר/שנייה \, \hat{j}) \mathbf{(0.2 \, T \, \hat{k})]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = 4 \× 10^3 \, מטר/שנייה \× 0.2 \, T \, \hat{j} \× \hat{k} \]
[ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = (0.8 \mathbf{10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{i} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 800 \, T \cdot m/s \, \hat{i} \]
לאחר מכן, הכוח החשמלי:
[ q E = (1.5 × 10⁻⁶, C) × (3 × 10⁻⁴, N/C, hati)]
\[ q \mathbf{E} = 0.045 \, N \, \hat{i} \]
כוח מגנטי:
[ q (v × B) = (1.5 × 10⁻⁶, C) × (800, T ⋅ מטר/שנייה, hati)]
\[ q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
סגנון כולל:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} + q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
\[ \mathbf{F} = 0.045 \, N \, \hat{i} + 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{F} = 0.0462 \, N \, \hat{i} \]
לכן, הכוח הכולל הפועל על המטען הוא 0.0462 ניוטון ימינה (ציר x חיובי).
מסקנה
הכוח על מטענים הנעים בשדות חשמליים ומגנטיים תלוי במידה רבה בכיוון ובגודל של כל שדה, כמו גם במהירות ובסוג המטען. באמצעות שאלות הדוגמה והדיון לעיל, יש לקוות שהקוראים יוכלו להבין טוב יותר כיצד ליישם את עקרון כוח לורנץ במצבים שונים. הבנה זו חשובה לא רק בתיאוריה אלא גם ביישומים מעשיים בתחומים טכנולוגיים ומדעיים כמו תכנון מנועים חשמליים, הבנת תופעת הזוהר הקוטב ועבודת החלקיקים במאיצי חלקיקים.
