שאלות לדוגמה הדנות באפקט קומפטון
אפקט קומפטון הוא תופעה מכרעת בפיזיקה קוונטית. תגלית זו לא רק מעמיקה את הבנתנו את הדואליות של גל-חלקיק של אור, אלא גם מספקת ראיות חזקות לתורת הקוונטים של קרינה. מאמר זה יסקור את אפקט קומפטון, את עקרונותיו הבסיסיים, ויספק כמה דוגמאות לבעיות ופתרונות ליישום מושג זה.
הבנת אפקט קומפטון
אפקט קומפטון, הקרוי על שם מגלהו ארתור ה. קומפטון, הוא תופעה שבה פוטון (חלקיק אור) מתנגש באלקטרון וחווה שינוי באורך הגל. לאחר ההתנגשות, הפוטון מעביר חלק מהאנרגיה שלו לאלקטרון, מה שגורם לפוטון לחוות עלייה באורך הגל (או ירידה בתדירות).
שינוי זה באורך הגל נקרא היסט קומפטון, וניתן לבטא אותו באמצעות המשוואה:
\[
Δlambda = Δlambda' – Δlambda = (h/mec)(1 – cos θ)
\]
אֵיפֹה:
– \(\Delta \lambda\) הוא השינוי באורך הגל של הפוטון,
– \(\lambda\) הוא אורך הגל ההתחלתי של הפוטון,
– \(\lambda'\) הוא אורך הגל של הפוטון לאחר ההתנגשות,
– \(h\) הוא קבוע פלאנק (\(6.626 \× 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) היא המסה של אלקטרון (\(9.109 \× 10^{-31} \, \text{ק"ג}\)),
– \(c\) היא מהירות האור (\(3 \× 10^8 \, \text{מטר/שנייה}\)),
– \(\theta\) היא זווית הפיזור של הפוטון.
שאלות לדוגמה ודיון
שאלה 1
פוטון בעל אורך גל של 0,1 ננומטר פוגע באלקטרון נייח. הפוטון מתפזר לאחר מכן בזווית של 90 מעלות מכיוונו המקורי. חשב את אורך הגל של הפוטון לאחר ההתנגשות!
דִיוּן:
זה ידוע:
– אורך גל התחלתי, (lambda = 0.1, nm = 0.1 כפול 10⁻⁶, m)
– זווית פיזור, \(\theta = 90^\circ \)
באמצעות משוואת ההזזה של קומפטון:
\[
Δlambda = (h/mec)(1 – cos θ)
\]
החלף את ערכי קבוע פלאנק, מסת האלקטרון ומהירות האור:
\[
ΔΔΔΑΑ = (6.626 × 10⁻¹/9.109 × 10⁻¹/31 × 10⁻¹) (1 – cos 90⁻¹)
\]
מכיוון ש-(cos 90⁻⁻circ = 0),
\[
ΔΔΔΔΔΑ = (6.626 × 10⁻⁴/9.109 × 10⁻⁴/31) × 3 × 10⁻⁴
\]
\[
ΔL = 6.626 × 10⁻⁴/2.7327 × 10⁻⁴/22
\]
\[
ΔL = 2.43 כפול 10⁻⁷ 12, m = 0.00243, nm
\]
אז אורך הגל לאחר ההתנגשות הוא:
\[
\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.1, \text{nm} + 0.00243, \text{nm} = 0.10243, \text{nm}
\]
שאלה 2
פוטון בעל אורך גל \( \lambda = 0.05 \, \text{nm} \) מפוזר בזווית \( \theta = 120^\circ \). קבע את אורך הגל של הפוטון לאחר הפיזור.
דִיוּן:
זה ידוע:
– אורך גל התחלתי, (lambda = 0.05, nm = 0.05 כפול 10⁻⁶, m)
– זווית פיזור, \(\theta = 120^\circ \)
באמצעות משוואת ההזזה של קומפטון:
\[
Δlambda = (h/mec)(1 – cos θ)
\]
החלף את ערכי קבוע פלאנק, מסת האלקטרון ומהירות האור:
\[
ΔΔΔΑΑ = (6.626 × 10⁻¹/9.109 × 10⁻¹/31 × 10⁻¹) (1 – cos 120⁻¹)
\]
מכיוון ש-(cos 120 = -0.5),
\[
ΔΔΔΑΑ = (6.626 × 10⁻⁴/9.109 × 10⁻⁴/34 × 10⁻⁴/31 × 3 × 8⁻⁴) (1 – (0.5-))
\]
\[
ΔΔΔΔΔΑ = (6.626 × 10^{-34})/9.109 × 10^{-31} × 3 × 10^8} (1 + 0.5)
\]
\[
ΔΔΔΔΔΔΔ = (6.626 × 10⁻⁴/2.7327 × 10⁻⁴/22) × 1.5
\]
\[
דלתא למבדה = 2.43 × 10⁻⁷, m × 1.5 = 3.645 × 10⁻⁷, m = 0.003645, nm
\]
אז אורך הגל לאחר ההתנגשות הוא:
\[
\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.05, \text{nm} + 0.003645, \text{nm} = 0.053645, \text{nm}
\]
שאלה 3
אם אורך הגל של הפוטון לאחר הפיזור הוא 0.045 ננומטר וזווית הפיזור היא 60°C, קבע את אורך הגל של הפוטון לפני הפיזור.
דִיוּן:
זה ידוע:
– אורך גל לאחר התנגשות, \(\lambda' = 0.045 \, \text{nm} = 0.045 \× 10^{-9} \, \text{m}\)
– זווית פיזור, \(\theta = 60^\circ \)
באמצעות משוואת ההזזה של קומפטון:
\[
Δlambda = (h/mec)(1 – cos θ)
\]
החלף את ערכי קבוע פלאנק, מסת האלקטרון ומהירות האור:
\[
ΔΔΔΑΑ = (6.626 × 10⁻¹/9.109 × 10⁻¹/31 × 10⁻¹) (1 – cos 60⁻¹)
\]
מכיוון ש-(cos 60⁻⁻circ = 0.5),
\[
ΔΔΔΔΑ = (6.626 × 10⁻⁴/9.109 × 10⁻⁴/31) × 3 × 10⁻⁴ (1 – 0.5)
\]
\[
ΔΔΔΔΔΔΔ = (6.626 × 10⁻⁴/2.7327 × 10⁻⁴/22) × 0.5
\]
\[
דלתא למבדה = 2.43 × 10⁻⁷, m × 0.5 = 1.215 × 10⁻⁷, m = 0.001215, nm
\]
אורך הגל לאחר ההתנגשות ידוע:
\[
למבדה' = למבדה + דלתא למבדה
\]
אז אורך הגל לפני הפיזור הוא:
\[
lambda = lambda' – Delta lambda = 0.045, nm – 0.001215, nm = 0.043785, nm
\]
מסקנה
הבנת אפקט קומפטון מאפשרת לנו להבין טוב יותר את האינטראקציה בין פוטונים ואלקטרונים בהקשר של פיזיקת קוונטים. שינוי אורך גל זה עקב פיזור מדגים את הדואליות בין גל לחלקיק של אור ומחזק את תורת הקוונטים של קרינה. הדוגמאות לעיל הן יישומים ישירים של משוואת קומפטון, שיכולים לעזור לנו להבין את המושג הבסיסי ולחשב שינויים באורך גל בתנאים שונים.
