דוגמה לשאלת דיון בתרשים פיזור
דיאגרמת פיזור, המכונה גם דיאגרמת פיזור, היא כלי חיוני בניתוח נתונים וסטטיסטיקה. היא עוזרת לנו להבין את הקשר בין שני משתנים מספריים על ידי הצגת נקודות נתונים במישור דו-ממדי. מאמר זה יכסה דוגמאות ודיון בדיאגרמות פיזור.
מהו תרשים פיזור?
תרשים פיזור הוא ייצוג חזותי של הקשר בין שתי קבוצות של נתונים מספריים. כל נקודה בתרשים הפיזור מייצגת זוג ערכים עבור שני משתנים שונים. לדוגמה, אם נרצה לנתח את הקשר בין שעות לימוד לציוני בחינות, שעות לימוד עשויות להיות מיוצגות על ידי ציר ה-X, בעוד שציוני בחינות על ידי ציר ה-Y.
יתרונות דיאגרמות פיזור
1. זיהוי דפוסים: דיאגרמות פיזור יכולות לעזור לנו לזהות דפוסים או מגמות בנתונים. דפוסים אלה יכולים להיות ליניאריים, לא ליניאריים, או אפילו ללא דפוס כלל.
2. קביעת מתאם: באמצעות דיאגרמה, נוכל לקבוע האם קיים מתאם בין שני משתנים. המתאם יכול להיות חיובי, שלילי או אפס (ללא מתאם).
3. זיהוי חריגים: תרשימי פיזור גם מקלים על זיהוי חריגים, שהם נקודות נתונים המרוחקות זו מזו משאר מערך הנתונים.
שאלות לדוגמה ודיון
שאלה לדוגמה 1: יצירת דיאגרמת פיזור
שאלה:
בהינתן הנתונים הבאים בנוגע לשעות לימוד (X) וציוני בחינות (Y) של חמישה סטודנטים:
| סטודנטים | שעות לימוד (X) | ציון בחינה (Y) |
|——-|——————|——————–|
| א | 2 | 70 |
| ב | 3 | 75 |
| ג | 1 | 65 |
| ד | 4 | 80 |
| ה | 5 | 85 |
צור דיאגרמת פיזור באמצעות הנתונים לעיל.
דיון:
כדי ליצור דיאגרמת פיזור, השלבים שניתן לבצע הם כדלקמן:
1. קבע את צירי X ו-Y: בחר את משתנה שעות הלימוד עבור ציר X ואת ציוני הבחינה עבור ציר Y.
2. שרטטו נקודות נתונים: שרטטו כל זוג (X, Y) בגרף.
הנה תרשים של הנתונים:
| ציר X (שעות לימוד) | ציר Y (ציון בחינה) |
|————————–|————————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 1 | 65 |
| 4 | 80 |
| 5 | 85 |
שאלה לדוגמה 2: קביעת סוג המתאם
שאלה:
בהתבסס על הנתונים המוצגים בשאלת דוגמה 1, קבע את סוג המתאם בין שעות הלימוד לציוני הבחינה.
דיון:
כדי לקבוע את סוג המתאם, עלינו לשים לב לתבנית שנוצרת על ידי נקודות הנתונים בדיאגרמת הפיזור.
הדיאגרמה מראה שככל ששעות הלימוד גדלות, גם ציוני המבחנים עולים. זה מצביע על מתאם חיובי בין שעות הלימוד לציוני המבחנים. מתאם זה נחשב חיובי משום ששני המשתנים נעים באותו כיוון.
דוגמה 3: חישוב מקדם המתאם של פירסון
שאלה:
חשב את מקדם המתאם של פירסון מהנתונים בבעיה לדוגמה 1.
דיון:
מקדם המתאם של פירסון (r) מודד את עוצמתו וכיווןו של הקשר הליניארי בין שני משתנים. הנוסחה עבור r היא:
r = \frac{n(\sum XY) – (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 – (\sum
אֵיפֹה:
– \(n \) הוא מספר זוגות הנתונים.
– \( \sum XY \) הוא סכום המכפלות של X ו-Y.
– \( \sum X \) הוא סכום כל הערכים של X.
– \( \sum Y \) הוא סכום כל ערכי ה-Y.
– \( \sum X^2 \) הוא סכום הריבועים של כל הערכים של X.
– \( \sum Y^2 \) הוא סכום הריבועים של כל ערכי ה-Y.
ראשית, נחשב את הערכים הנדרשים:
\[\sum X = 2 + 3 + 1 + 4 + 5 = 15 \]
\[ \sum Y = 70 + 75 + 65 + 80 + 85 = 375 \]
\[ \sum
\[ \sum
\[ \sum Y^2 = 70^2 + 75^2 + 65^2 + 80^2 + 85^2 = 4900 + 5625 + 4225 + 6400 + 7225 = 28375 \]
לאחר מכן, יש להציב בנוסחה:
[ r = \frac{5(1175) – (15)(375)}{\sqrt{[5(55) – (15)^2][5(28375) – (375)^2]}} \]
[r = \frac{5875 – 5625}{\sqrt{[275 – 225][141875 – 140625]}} \]
[ r = \frac{250}{\sqrt{50 1250}} \]
r = 250 מ"ר
r = 250
\[ r = 1 \]
לכן, מקדם המתאם של פירסון של הנתונים לעיל הוא 1, דבר המצביע על קשר ליניארי חיובי מושלם.
שאלה לדוגמה 4: גילוי חריגים
שאלה:
מהנתונים בשאלה לדוגמה 1, קבע אם יש חריגים בתרשים הפיזור.
דיון:
חריג הוא נקודת נתונים הרחוקה משאר מערך הנתונים. מהנתונים:
| ציר X (שעות לימוד) | ציר Y (ציון בחינה) |
|————————–|————————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 1 | 65 |
| 4 | 80 |
| 5 | 85 |
נראה שכל נקודות הנתונים מתכנסות, ואף אחת מהן אינה שונה באופן משמעותי מהאחרות. לכן ניתן להסיק כי מערך נתונים זה אינו מכיל חריגים.
מסקנה
תרשים פיזור הוא כלי ויזואלי שימושי מאוד בניתוח נתונים לקביעת הקשר בין שני משתנים מספריים. באמצעות הדוגמאות לעיל, נוכל להבין כיצד ליצור תרשים פיזור, לקבוע את סוג המתאם, לחשב את מקדם המתאם של פירסון ולזהות חריגים. הבנת מושגים אלה חיונית לניתוח נתונים ולקבלת החלטות מושכלות על סמך ניתוח זה.
לפיכך, דיאגרמות פיזור לא רק עוזרות להבין את הנתונים לעומק רב יותר, אלא גם סוללות את הדרך לניתוח סטטיסטי נוסף.
