שאלות לדוגמה על מספרים מרוכבים
מספרים מרוכבים הם נושא נפוץ במתמטיקה הן ברמת התיכון והן ברמת המכללה. מספרים מרוכבים מורכבים משני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. באמצעות סימון קונבנציונלי, מספר מרוכב נכתב כ- \(z = a + bi \), כאשר \(a \) ו- \(b \) הם מספרים ממשיים, ו- \(i \) היא היחידה המדומה בעלת התכונה \(i^2 = -1 \). מאמר זה יכסה מספר דוגמאות ודיון בהן בנוגע למספרים מרוכבים, החל מפעולות בסיסיות ועד יישומים בפתרון בעיות.
שאלות לדוגמה ודיון
1. חיבור וחיסור של מספרים מרוכבים
שאלה 1
תן \( z_1 = 3 + 4i \) ו-\( z_2 = 1 – 2i \). חשב את \( z_1 + z_2 \) ו-\( z_1 – z_2 \).
דִיוּן
כדי לחבר או לחסר מספרים מרוכבים, אנחנו פשוט עובדים על החלק הממשי עם החלק הממשי ועל החלק המדומה עם החלק המדומה.
תוֹסֶפֶת:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4i - 2i) = 4 + 2i
\]
חִסוּר:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
אז, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ו-\( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. כפל של מספרים מרוכבים
שאלה 2
חשב את המכפלה של \(z_1 = 2 + 3i \) על ידי \(z_2 = 4 – i \).
דִיוּן
כדי להכפיל שני מספרים מרוכבים, נשתמש בתכונת הפילוג של אלגברה:
\[
z_1 ≈ z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
נכפיל כל רכיב:
\[
2 ⋅ 4 + 2 ⋅ (-i) + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
מכיוון ש-(i^2 = -1), אז:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
לכן, המכפלה \(z_1 \cdot z_2 \) היא \(11 + 10i \).
3. חילוק מספרים מרוכבים
שאלה 3
חשב את המנה של \(z_1 = 3 + 4i \) על ידי \(z_2 = 1 – i \).
דִיוּן
כדי לחלק מספר מרוכב, נכפיל את המונה והמכנה בצמוד של המכנה של המספר המרוכב. הצמוד של \(1 – i \) הוא \(1 + i \).
\[
(3 + 4i}{1 – i) (1 + i}{1 + i) = (3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
בואו נחשב תחילה את המכנה:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
כעת נחשב את המונה:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
אז, התוצאה היא:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. מודול וארגומנט של מספרים מרוכבים
שאלה 4
קבע את המודולוס והארגומנט של \(z = 1 + i \).
דִיוּן
המודולוס של המספר המרוכב \(z = a + bi \) הוא:
\[
|z| = ∫[a^2 + b^2]
\]
עבור \(z = 1 + i \), יש לנו \(a = 1 \) ו- \(b = 1 \):
\[
|z| = √{1^2 + 1^2} = √{2}
\]
הארגומנט של מספר מרוכב הוא הזווית \( \theta \) הנוצרת עם הציר הממשי החיובי, הנמדדת מהראשית לכיוון הנקודה \((a, b) \).
\[
Σ = tan^{-1}(frac{b}{a)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
לכן, המודולוס של \(z = 1 + i \) הוא \( \sqrt{2} \) והארגומנט הוא \( \frac{\pi}{4} \).
5. צורה אקספוננציאלית ותבנית אוילר
שאלה 5
המר את המספר המרוכב \(z = 1 + i \) לצורה מעריכית.
דִיוּן
צורה אקספוננציאלית של מספרים מרוכבים באמצעות נוסחת אוילר:
\[
z = re^{i\theta}
\]
כאשר r הוא המודולוס ו- theta הוא הארגומנט. מהדיון הקודם, אנו יודעים ש:
\[
r = ∫sqrt{2}, ∫_theta = ∫frac{\pi}{4}
\]
אז, הצורה האקספוננציאלית היא:
\[
z = ∫e^{iπ/4}
\]
6. שורשי מספרים מרוכבים
שאלה 6
מצא את השורשים הריבועיים של המספר המרוכב \(z = -1 \).
דִיוּן
ניתן למצוא את השורשים הריבועיים של מספרים מרוכבים באמצעות צורה פולרית או אקספוננציאלית. אנו ממירים את \(z = -1 \) \) לצורה אקספוננציאלית:
\[
z = -1 = e^{iπ}
\]
ניתן לכתוב את השורש הריבועי של \( e^{i\pi} \) כך:
\[
z_k = r ⋅ e^{i(θ + 2kπ)/n}
\]
עם r = 1, theta = π), n = 2 ו-k = 0, 1:
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
לכן, השורשים הריבועיים של -1 הם i ו--i.
7. יישומים במשוואות ריבועיות
שאלה 7
פתור את המשוואה הריבועית (z^2 + 4z + 13 = 0).
דִיוּן
נוכל להשתמש בנוסחה הריבועית:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
עבור המשוואה \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
א = 1, ב = 4, ג = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
לכן, הפתרונות של \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) הם \(z = -2 + 3i \) ו- \(z = -2 – 3i \).
מסקנה
מספרים מרוכבים הם מושג מתמטי רחב מאוד עם יישומים רבים. על ידי הבנת פעולות בסיסיות כמו חיבור, חיסור, כפל וחילוק, כמו גם כיצד לחשב מודול וארגומנט, נוכל לפתור בעיות שונות הכרוכות במספרים מרוכבים. יש לקוות שהדוגמאות לעיל יעזרו לכם להבין טוב יותר ולשלוט בנושא זה.
