Collisioni perfettamente elastiche
Una collisione tra due oggetti è detta collisione perfettamente elastica se la quantità di moto o l'energia cinetica di ciascun oggetto prima della collisione è uguale alla quantità di moto e all'energia cinetica di ciascun oggetto dopo la collisione. In altre parole, la legge di conservazione della quantità di moto e la legge di conservazione dell'energia cinetica sono applicabili nelle collisioni perfettamente elastiche. L'uso del termine "elastico" indica che, dopo la collisione, i due oggetti non si attaccano l'uno all'altro, ma rimbalzano. La quantità di moto di ciascun oggetto si conserva.
La quantità di moto di ciascun oggetto si conserva.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' ………………….. Equazione 1.5
L'energia cinetica di ciascun oggetto si conserva.
1⁄2 mv 1 2 + 1⁄2 mv 2 2 = 1⁄2 mv 1 ' 2 + 1⁄2 mv 2 ' 2 ………………….. Equazione 1.6
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Una collisione perfettamente elastica deve essere silenziosa e non generare calore per attrito tra i due oggetti che si scontrano. Se la collisione di due oggetti genera rumore e calore, l'energia cinetica degli oggetti non si conserva. Parte dell'energia cinetica si converte in energia sonora ed energia termica, e parte si converte in energia interna. Un esempio di collisione perfettamente elastica è la collisione di particelle atomiche e subatomiche.
In un problema di collisione perfettamente elastica, se la velocità iniziale è nota mentre quella finale è incognita, il problema non può essere risolto utilizzando solo le equazioni 1.5 e 1.6. Per questo motivo, entrambe le equazioni vengono manipolate per derivare altre equazioni, che possono essere utilizzate per determinare la velocità finale.
Rimuovi il fattore 1/2, quindi manipola 1.6
m1 v1 2 + m2 v2 2 = m1 v1 ' 2 + m2 v2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m 1 (v 1 2 – v 1 ' 2 ) = m 2 (v 2 ' 2 – v 2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Equazione 1.7
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Manipolare l'equazione 1.5
m1v1 – m1v1 ' = m2v2 ' - m2v2
m 1 (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Equazione 1.8
Dividere l'equazione 1.7 per l'equazione 1.8 per ottenere il risultato finale
( v1 + v1 ') = ( v2 ' + v2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') ………………….. Equazione 1.9
Le equazioni 1.5 e 1.9 possono essere utilizzate per risolvere problemi di collisioni perfettamente elastiche. Combinando le equazioni 1.5 e 1.9 si ottengono due equazioni per determinare le velocità finali di due oggetti se le loro masse e velocità iniziali sono sconosciute.
Quando si risolvono i problemi utilizzando le equazioni sopra riportate, utilizzare il segno corretto per v₁ e v₂ . Se l'oggetto 1 si muove verso destra, v₁ è positivo, e viceversa, se l'oggetto 2 si muove verso sinistra, v₂ è negativo. Se entrambi gli oggetti si muovono in direzioni diverse, ma non ci sono informazioni sulla direzione del moto, v₁ e v₂ devono avere segni diversi, ad esempio, v₁ è positivo e v₂ è negativo.
4.1.1 Due oggetti della stessa massa
Se m 1 = m 2 , v 1 ' = v 2 e v 2 ' = v 1.
Cosa succederebbe se i due oggetti si muovessero in direzioni diverse?
Ad esempio, se prima della collisione l'oggetto 1 si muove a destra e l'oggetto 2 si muove a sinistra, dopo la collisione l'oggetto 1 si muoverà a sinistra (v 1 ' = – v 2 ) e l'oggetto 2 si muoverà a destra (v 2 ' = v 1 ).
Cosa succede se uno dei due oggetti è inizialmente fermo?
Ad esempio, se prima della collisione l'oggetto 2 è fermo (v 2 = 0), l'oggetto 1 sarà fermo (v 1 ' = 0) e l'oggetto 2 si muoverà alla stessa velocità iniziale dell'oggetto 1 (v 2 ' = v 1 ) dopo la collisione. Se prima della collisione l'oggetto 1 si muove verso destra, l'oggetto 2 si muoverà verso destra dopo la collisione. Pertanto, i due oggetti si scambiano le velocità.
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Esempio di domanda 4
Gli oggetti A (2 kg) e B (2 kg) si muovono in direzioni opposte con velocità rispettivamente di 4 m/s e 2 m/s. Se gli oggetti A e B si scontrano in una collisione perfettamente elastica, quali saranno le loro velocità finali?
Conosciuto :
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
Ricercati: v A ' e v B '
soluzione:
v A ' = – 2 m/s e v B ' = 4 m/s
Dopo la collisione, l'oggetto A si muove a una velocità di 2 m/s e l'oggetto B a una velocità di 4 m/s in direzioni opposte. Se prima della collisione l'oggetto A si muove a destra e l'oggetto B si muove a sinistra, dopo la collisione l'oggetto A si muoverà a sinistra e l'oggetto B si muoverà a destra.
Esempio di domanda 5
L'oggetto A (2 kg) si muove verso destra con una velocità di 2 m/s e urta contro l'oggetto B (2 kg) che è fermo. Se i due oggetti urtano in modo perfettamente elastico, quali saranno le velocità finali degli oggetti A e B?
Conosciuto :
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
Ricercati: v A ' e v B '
soluzione:
v A ' = 0 e v B ' = 2 m/s
Dopo la collisione, l'oggetto A è fermo, mentre l'oggetto B si muove verso destra con una velocità di 2 m/s.
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4.1.2 Due oggetti di masse diverse
Se due oggetti hanno velocità iniziali e masse diverse (differenza minima), le velocità finali si possono calcolare utilizzando le equazioni 1.10 e 1.11.
Se inizialmente l'oggetto 2 è fermo (v 2 = 0), l'equazione 1.10 diventa l'equazione 1.12 e l'equazione 1.11 diventa l'equazione 1.13.
Se v 2 = 0, m 1 è molto grande e m 2 è molto piccolo, risolvendo le equazioni 1.12 e 1.13 si ottiene v 1 ' = v 1 e v 2 ' = 2v 1. Se v 2 = 0, m 1 è molto piccolo e m 2 è molto grande, risolvendo le equazioni 1.12 e 1.13 si ottiene v 1 ' = -v 1 e v 2 ' = 0. I segni positivi e negativi indicano direzioni di moto opposte.
Esempio di domanda 6
Un oggetto di massa 1 kg si muove a una velocità di 20 m/s e urta contro una parete in una collisione perfettamente elastica. Quali sono le velocità finali dell'oggetto e della parete?
Conosciuto :
m A = 1 kg, v A = 20 m/s, m B = molto grande, v B = 0
Cercasi : v A ' e v B '
soluzione:
v A ' = -20 m/s e v B ' = 0
Dopo la collisione, l'oggetto A rimbalza con una velocità di 20 m/s e l'oggetto B rimane fermo. Se prima della collisione l'oggetto A si muove verso destra, dopo la collisione si muove verso sinistra.
