Come calcolare la deviazione standard
La deviazione standard è una delle misure statistiche più utilizzate per determinare quanto i dati si discostano dalla loro media. Nella vita reale, la deviazione standard ci aiuta a comprendere la stabilità o la variabilità di un fenomeno: ad esempio, le variazioni nei punteggi dei test, le fluttuazioni delle vendite, le differenze di altezza e persino i rischi nei dati finanziari. Minore è la deviazione standard, più i dati sono vicini alla media. Al contrario, una deviazione standard elevata indica che i dati sono lontani dalla media e presentano un'elevata variabilità.
Questo articolo illustrerà il significato della deviazione standard, la formula utilizzata e i passaggi per calcolarla manualmente attraverso esempi di facile comprensione.
1. Definizione di deviazione standard
La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. La varianza stessa è la media dei quadrati delle differenze tra ciascun dato e la media. Perché usare il quadrato? Perché le differenze tra i dati e la media possono essere sia negative che positive. Se sommate direttamente, le differenze negative e positive possono annullarsi a vicenda, portando a risultati fuorvianti. Elevando al quadrato le differenze, tutti i valori diventano positivi, consentendo una misurazione più accurata della distribuzione dei dati.
Semplicemente:
– Varianza = misura della dispersione in unità “quadrate”.
– Deviazione standard = una misura della dispersione che è tornata alle unità di dati originali.
Esempio: se i dati sono espressi in punteggi di test (unità di punti), la varianza sarà in punti, mentre la deviazione standard sarà anch'essa in punti, il che ne facilita l'interpretazione.
2. Deviazione standard della popolazione rispetto alla deviazione standard del campione
Prima di procedere al calcolo, è importante sapere che tipo di dati si hanno a disposizione:
1. Popolazione: i dati includono tutti i membri che devono essere oggetto della ricerca.
La formula per la deviazione standard della popolazione utilizza il divisore N (numero di dati).
2. Campione: i dati rappresentano solo una parte della popolazione e vengono generalmente utilizzati per rappresentare una popolazione più ampia.
La formula della deviazione standard campionaria utilizza un divisore (n − 1) per correggere la distorsione di stima. Questa correzione è chiamata correzione di Bessel.
Nella pratica quotidiana (ad esempio, ricerca, sondaggi, analisi di classe), i dati sono spesso considerati un campione, quindi il divisore è (n − 1).
3. Formula della deviazione standard
A. Formula della deviazione standard della popolazione
Supponiamo che i dati siano: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Media della popolazione:
\[
\mu = \frac{\somma_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Varianza della popolazione:
\[
σ² = Σ_{i=1}^{N}(x_i – μ)²/N}
\]
Deviazione standard della popolazione:
\[
σ = √σ²
\]
B. Formula per la deviazione standard del campione
Media campionaria:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Varianza del campione:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Deviazione standard del campione:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Passaggi per calcolare manualmente la deviazione standard
Per rendere il concetto più comprensibile, prendiamo come esempio i risultati degli esami di 5 studenti:
Dati: 60, 70, 70, 80, 90
Si supponga che questi dati siano un campione (comune negli esempi didattici).
Passaggio 1: Calcola la media
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Il punteggio medio è quindi 74.
Passaggio 2: Calcola la differenza tra ciascun dato e la media
Crea una colonna di differenza \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Passaggio 3: elevare al quadrato la differenza
Calcola \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Passaggio 4: Sommare i quadrati delle differenze
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Passaggio 5: Calcolare la varianza (per un campione, dividere per n − 1)
Poiché n = 5, allora n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Quindi la varianza del campione è 130.
Passaggio 6: Calcolare la radice quadrata della varianza per ottenere la deviazione standard.
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
La deviazione standard dei dati è quindi approssimativamente pari a 11,40. Ciò significa che, in media, i punteggi degli studenti si discostano di circa 11 punti dalla media di 74.
5. Metodo rapido: formula alternativa (calcolo)
Oltre al metodo manuale descritto sopra, esiste una formula computazionale che viene spesso utilizzata per velocizzare i calcoli, soprattutto in presenza di una grande quantità di dati:
Varianza del campione:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Questa formula evita di calcolare le differenze una per una, ma richiede comunque precisione nel calcolo della somma dei quadrati dei dati.
Tuttavia, per una comprensione concettuale, il metodo passo passo (differenza → quadrato → somma) è solitamente più semplice e meno soggetto a errori.
6. Interpretazione della deviazione standard
La deviazione standard non si limita ai numeri, ma deve essere interpretata:
– Deviazione standard ridotta: i dati sono raggruppati vicino alla media, la variabilità è bassa e i risultati sono più coerenti.
– Deviazione standard elevata: i dati sono molto dispersi rispetto alla media, la variabilità è alta e i risultati sono meno coerenti.
Ad esempio, supponiamo che due classi abbiano lo stesso punteggio medio, 74. Se la classe A ha una deviazione standard di 5 e la classe B una deviazione standard di 15, allora i punteggi nella classe A sono più uniformi e stabili. La classe B presenta una maggiore variabilità: alcuni punteggi sono molto bassi e altri molto alti.
7. Errori comuni
Alcuni errori comuni nel calcolo della deviazione standard:
1. Ho dimenticato di distinguere tra campione e popolazione, quindi il divisore è sbagliato (N contro n − 1).
2. Calcolare male la media, il che comporta che tutti i passaggi successivi risultino errati.
3. Dimenticare di elevare al quadrato la differenza, oppure commettere un errore nel calcolo della radice quadrata alla fine.
4. Errori aritmetici nell'addizione o nel calcolo dei quadrati dei numeri.
È possibile prevenire gli errori creando una tabella di calcolo e ricontrollando i risultati.
Chiusura
Calcolare la deviazione standard non è poi così difficile se si seguono correttamente i passaggi: calcolare la media, trovare la differenza tra ciascun insieme di dati, elevare al quadrato le differenze, sommarle, dividere (per n o n − 1) e infine estrarre la radice quadrata. Comprendendo la deviazione standard, è possibile valutare la coerenza dei dati e la loro variabilità.
Se lo desideri, posso anche creare ulteriori esempi con più dati, esempi di dati raggruppati (tabelle di frequenza) o spiegazioni su come calcolare la deviazione standard utilizzando Excel/Fogli Google.
