skotfæri-hreyfing

Grein um hreyfingu skotfæra og dæmi um vandamál með lausnum

Upphafshraði (v_o) og þættir upphafshraðans (v_ox og v_oy)

Hlutur þar sem parabólísk hreyfing hefur alltaf upphafshraða. Þar sem parabólísk hreyfing er samsetning hreyfinga í lárétta og lóðrétta átt, hefur upphafshraðinn einnig lárétta og lóðrétta þætti.

Ef hluturinn hreyfist parabólískt eins og sýnt er á mynd 1 og 3, þá eru upphafshraðinn í lárétta átt (v _ox ) og upphafshraðinn í lóðrétta átt ( _voy ) reiknaðir með jöfnunni:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Ef hluturinn hreyfist parabólískur eins og á mynd 2 þá er v _o = v _ox (v _oy = 0)

Hraði (v_x og v_y) og staðsetning (x og y)

Hraðinn í láréttri og lóðréttri átt á ákveðnu tímabili er reiknaður út með jöfnunni:

v _x = v _ox = fasti ( jöfn línuleg hreyfing )

v _y = v _oy + gt eða v _y ² = v _oy ² + 2 gh (frjálst fall)

Staðsetning hluta í láréttri (x) og lóðréttri (y) átt á ákveðnu tímabili er reiknuð út með jöfnunni:

x = v _ox t

y = v _oyt + 1⁄2 ^gt²

Niðurstaða hraða (v) og stöðu (h)

Reiknuð er út hraði sem myndast á tilteknu tímabili með jöfnunni:

Stefna hluta á ákveðnu tímabili er reiknuð út með jöfnunni:

Skýringar:

1. Lárétta þáttur parabólískrar hreyfingar er talinn vera einsleit línuleg hreyfing, þannig að vox = vx er alltaf fasti

2. Lóðrétta þátturinn í parabóluhreyfingu er talinn frjáls fallhreyfing, þannig að ef hluturinn hreyfist parabólukennt, eins og á myndum 1 og 3, þá er lóðrétta þátturinn í hraða hlutarins í hámarkshæð núll (v _y = 0). Ef þú kastar marmara uppréttri upp í hámarkshæð, þá kyrrir hluturinn um stund (v _y = 0) áður en hann snýr niður. Þess vegna er hraði hlutarins sem hreyfir parabóluhreyfinguna í hámarkshæð = v _x = v _ox

3. Ef hluturinn hreyfist parabólískt eins og sýnt er á mynd 2, þá er lóðrétti þáttur parabólískrar hreyfingar talinn vera frjálst fall. Ef hluturinn hreyfist parabólískt eins og sýnt er á mynd 1 og 3, þá er lóðrétti þáttur parabólískrar hreyfingar talinn vera lóðrétt uppávið hreyfing.

Dæmi um vandamál:

1. Kúla er skotin lárétt með upphafshraða 20 m/s. Ef byssan er í 5 metra hæð yfir jörðu, ákvarðaðu:

(a) tími í lofti

(b) hámarkshæð

(c) lárétta fjarlægðin

(d) hraði kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni

lausn:

Hreyfing í lárétta átt er greind eins og einsleit línuleg hreyfing, en hreyfing í lóðrétta átt er greind eins og hreyfing í frjálsu falli.

Þekkt:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tími í lofti

Lausnin er sú að ákvarða tímabilið (t) í frjálsu falli.

Þekkt: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Óskað eftir: t

b) Hámarkshæð

Hámarkshæð = h = 5 metrar.

c) Lárétt fjarlægð (d)

Lausnin er eins og að ákvarða fjarlægðina á jafnri línulegri hreyfingu

Þekkt: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekúnda

Óskað eftir: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Hraði þegar kúlan lendir á jörðinni

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Fyrst reiknum við lokahraðann í lóðréttri átt (vty). Lausnin er eins og að ákvarða lokahraða frjálsfallshreyfingarinnar.

Þekkt: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Óskað eftir: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

Hraði kúlu þegar hún lendir á jörðinni:

Stefna kúlunnar:

Þar sem v _tx er í átt að jákvæða x-ásnum (til hægri) og v _ty er í átt að neikvæða y-ásnum (niður),

Stefna kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni er -26.1 ^° miðað við jákvæða x-ásinn (sjá mynd hér að neðan).

2. Fallbyssan skaut kúlu með 30 ^° halla miðað við lárétta stefnu og hraðanum 60 m/s. Ákvarðið:

(a) hámarkshæð

(b) hraði kúlunnar í mesta hæð

(c) tími í lofti

(d) lárétt fjarlægð

(e) hraði kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni. Gerum ráð fyrir að jörðin sé slétt. 🙂

lausn:

Hreyfing í lárétta átt er greind eins og einsleit línuleg hreyfing, hreyfing í lóðrétta átt er greind eins og lóðrétt hreyfing upp á við.

Þekkt: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Byggt á þekktum gögnum reiknum við fyrst lóðrétta (v _oy ) og lárétta (v _ox ) hluta upphafshraðans (v _o ).

a) Hámarkshæð (h)

Lausnin er eins og að ákvarða hámarkshæðina á uppleið lóðréttri hreyfingu.

Þekkt:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Hámarkshæð (h)

Lausnin er eins og að ákvarða hámarkshæðina á lóðréttri uppáviðshreyfingu.

Þekkt:

v _oy = 30 m/s (þetta er upphafshraði kúlunnar)

v _ty = 0 m/s (Í hámarkshæð er lóðréttur hraði kúlunnar = 0 m/s. Þetta er lokahraðinn.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Óskað eftir: kl.

vt² = ^v² ₊ ² gh_​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) klst.

0 = 900 – 19.6 klst.

900 = 19.6 klukkustundir

klst. = 900 / 19.6

klst = 45.9 metrar

Hámarkshæð kúlunnar var 45.9 metrar.

b) Hraðinn í hámarkshæð

Í hámarkshæð er hraðinn í lóðréttri átt = 0 m/s. Í hámarkshæð er hraðinn aðeins í láréttri átt. Hraðinn í láréttri átt í hámarkshæð er jafn upphafshraðanum í láréttri átt, sem er 52.2 m/s. Stefna hraðans í láréttri átt er alltaf stöðug, þ.e. í átt að jákvæða x-ásnum (ef hreyfing hlutar er lýst á myndinni hér að ofan).

c) Tíminn í loftinu

Lausnin er eins og að ákvarða tímabilið (t) í umræðunni um lóðrétta uppávið hreyfingu.

Þekkt:

v _oy = 30 m/s (þetta er upphafshraði kúlunnar í lóðréttri átt)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (þegar kúlan fer aftur til jarðar er lóðrétt færsla kúlunnar = 0 m)

Óskað eftir: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 tonn

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekúndur

Tími í lofti = 6.12 sekúndur

d) Lárétt fjarlægð (d)

Lausnin er eins og að ákvarða fjarlægðina (d) á jafnri línulegri hreyfingu.

Þekkt:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekúndur

Óskað eftir: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekúndur) = 319.5 m

e) Hraði þegar kúlan lendir á jörðinni

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Fyrst reiknum við lokahraðann í lóðrétta átt (v _ty ). Lausnin er að ákvarða lokahraðann á lóðréttri uppáviðshreyfingu.

Óskað er eftir: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekúndur

Óskað eftir: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Neikvætt tákn gefur til kynna að lokahraðanum sé neðst. Athugið að upphafshraðinn í lóðréttri átt er jafn lokahraðanum í lóðréttri átt.

Hraði kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni:

Stefna kúlunnar:

Þar sem v _tx er í átt að jákvæða x-ásnum (til hægri) og vty er í átt að neikvæða y-ásnum (niður),

Stefna hraða kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni er -30 ^° um jákvæða x-ásinn (sjá mynd hér að neðan).

3. Kúla er kastað frá brún 50 metra hárrar byggingar með upphafshraða 10 m/s. Ef kúlan er kastað í 30° horni frá láréttu plani, ákvarðaðu þá:

(a) sá tími sem boltinn nær jörðinni

(b) hraði boltans þegar hann lendir á jörðinni

(c) lárétta fjarlægðin sem boltinn nær er mæld frá brún byggingarinnar.

(d) hámarkshæð sem boltinn nær

lausn:

Fyrst reiknum við lóðrétta þáttinn (v _oy ) og lárétta þáttinn (v _ox ) af upphafshraðanum (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tímabilið sem boltinn lendir á jörðinni

Lausnin er eins og að ákvarða tímabilið (t) í lóðréttri uppávið hreyfingu. Stærð vigursins sem stefnir upp á við er valin jákvæð, stærð vigursins sem stefnir niður á við er valin neikvæð. Staðsetning boltans þar sem hann er kastað er valin sem viðmiðunarpunktur. h er neikvætt vegna þess að yfirborð jarðar er fyrir neðan viðmiðunarpunktinn, g er neikvætt vegna þess að stefna þyngdarhröðunarinnar er niður á við.

Þekkt:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Óskað eftir: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Notaðu annars stigs formúluna:

Tími í lofti = tíminn sem líður frá því að boltinn var kastað til jarðar = 1.64 sekúndur.

b) Hraði boltans þegar hann lendir á yfirborði jarðar

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Fyrst reiknum við lokahraðann í lóðrétta átt (v _ty ). Lausnin er eins og að ákvarða lokahraðann á lóðréttri uppáviðshreyfingu.

Þekkt: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekúndur

Óskað eftir: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Neikvæða formerkið gefur til kynna að stefna lokahraðans sé niður á við.

Hraði kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni:

Hraðastefna kúlunnar = hreyfingarstefna kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni:

Hraði kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni:

Þar sem vtx er í átt að jákvæða x-ásnum (til hægri) og vty er í átt að neikvæða y-ásnum (niður),

Stefna kúlunnar þegar hún lendir á jörðinni er -52° um jákvæða x-ásinn (sjá mynd hér að neðan).

c) Lárétt fjarlægð sem boltinn nær til er mæld frá brún byggingarinnar.

Lausnin er eins og að ákvarða vegalengdina (d) sem farin er á jafnri línulegri hreyfingu.

Þekkt: t = 1.64 sekúndur, v _x = 8.7 m/s

Óskað eftir: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Hámarkshæð sem boltinn nær

Þekkt: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( lóðréttur hluti hraðans í hámarkshæð = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Óskað eftir: kl.

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (klst)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (klst.)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (klst.)

klst = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metrar

Hámarkshæð sem kúlan nær = 1.3 metrar yfir þaki byggingarinnar = 1.3 m + 50 m = 51.3 metrar yfir yfirborði jarðar.