Skörpum skriðþunga

Skörpum skriðþunga

Magn snúningshreyfingarinnar, sem er eins og massa (m) í línulegri hreyfingu, er tregðumómentið (I). Magn snúningshreyfingarinnar, sem er eins og hraðanum (v) í línulegri hreyfingu, er hornhraðinn (ω). Þannig hefur snúningshluturinn hornmóment sem hægt er að reikna út með jöfnunni:

L = I ω

L = hornmóment (kg m² ^/ s), I = tregðumóment (kg m² ⁾ , ω = hornhraði (rad/s)

Dæmi um vandamál með hornmómentum

Dæmi um vandamál 1.

Örn með massa 0.5 grömm ferðast í hring með fasta hornhraða 2 rad/s. Ákvarðið hornmómenta örnarinnar ef radíus leiðar örnarinnar er 10 cm.

lausn:

Tregðumóment agnarinnar:

I = mr² ⁼ (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻¹ m²) ⁼ (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ⁾ = 0.5 x ^10⁻¹ kg ^m²

Hornhraði agnarinnar:

ω = 2 rad/s

Hornmómentið á agninni:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

Lögmálið um varðveislu hornmómentums

Lögmálið um varðveislu hornmóments segir að ef kraftmómentið á stífan hlut þegar hann snýst er núll, þá er hornmómentið alltaf fast. Lögmálið um varðveislu hornmóments er hægt að leiða út stærðfræðilega með því að breyta jöfnu annars lögmáls Newtons um hornmóment. Hér er jafna annars lögmáls Newtons um hornmómentið:

Ef kraftmómentið sem myndast er núll, þá breytist jafnan hér að ofan í:

I _t = lokatregðumóment, I _o = upphafstregðumóment, ω _t = lokahornhraði, ω _o = upphafshornhraði, L _t = lokahornmóment, L _o = upphafshornmóment.

Dæmi um dæmi um lögmál varðveislu hornmómentums

Dæmi um vandamál 1.

Einsleitur, fastur sívalningsdiskur snýst upphaflega um ás sinn með hraðanum 4 rad/s. Massi og radíus disksins eru 1 kg og 0.5 m. Ef fyrir ofan plötuna er settur hringur sem hefur massa og radíus 0.2 kg og 0.1 m og miðja hringsins,

rétt fyrir ofan miðju disksins, þá munu diskurinn og hringurinn snúast saman með hornhraðanum ...

lausn:

Tregðumóment fasts sívalnings: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m² ⁼ (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Tregðumóment hringsins: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Upphafshornmóment (L1 ₎ = Lokahornmóment ( _L2 )

Ég ₁ ω ₁ = Ég ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Hugmyndalegar spurningar og svör

1. Hvað er hornmóment?
   Svar: Hornmóment er mælikvarði á snúningsmagn hlutar, miðað við massa hans og lögun. Það er snúningshliðstæða línulegs móments.
2. Hvernig er hornmómentum ákvarðað stærðfræðilega?
   Svar: Hornmóment (L) er skilgreint sem $L=r\times p$, Þar sem $r$ er stöðuvigurinn frá snúningsásnum að beitingarpunktinum, og $p$ er línuleg skriðþunga.
3. Er hornmómentum skalarstærð eða vigurstærð?
   Svar: Hornmómentum er vigurstærð.
4. Hver er eining hornmómentums í SI kerfinu?
   Svar: Einingin fyrir hornmóment í SI kerfinu er kílógramm-metri í öðru veldi á sekúndu (kg·m²/s).
5. Hvernig varðveitist hornmóment?
   Svar: Í lokuðu kerfi án ytri togkrafta helst heildarhornsmómentið stöðugt.
6. Hver er meginreglan um varðveislu hornmómentums?
   Svar: Meginreglan segir að heildarhornmómentum lokaðs kerfis sé stöðugt nema utanaðkomandi tog virki á það.
7. Hvernig tengist snúningur listskautakappa hornmómentum?
   Svar: Þegar listskautamaður dregur handleggi og fætur nær líkama sínum á meðan hann snýst, minnkar tregðumómentið sem veldur því að hann snýst hraðar. Þetta sýnir fram á varðveislu skriðþunga.
8. Hvert er sambandið milli togkrafts og hornmómentums?
   Svar: Tog ($\tau$) er breytingarhraði hornmómentans. Stærðfræðilega séð, τ=dL/sek​.
9. Er mögulegt fyrir hlut að hafa hornmóment án hornhraða?
   Svar: Nei, ef hlutur hefur hornmóment, þá hefur hann hornhraða. Stærð og stefna hornmómentsins eru háð bæði tregðumómentinu og hornhraðanum.
10. Hvernig hefur tregðumómentið áhrif á hornmómentið?
    Svar: Hornmóment (L) er margfeldi tregðumómentsins (I) og hornhraðans (ω). US $L=I\omega$, aukning á tregðumómenti fyrir tiltekinn hornhraða mun auka hornskriðmálið.
11. Hver er munurinn á snúningi og brautarhyrningsmomentum í skammtafræði?
    Svar: Snúningshyrnd er eðlislægur eiginleiki agna, eins og rafeinda, og stafar ekki af hreyfingu í geimnum. Sporbrautarhyrnd, hins vegar, stafar af hreyfingu agna um miðpunkt.
12. Hvaða hlutverki gegnir hornmómentum í myndun sólkerfa?
    Svar: Þegar sameindaský fellur saman og myndar stjörnur og reikistjörnur, veldur varðveisla skriðþungans því að efnið flatist út í disk í kringum nýfædda stjörnuna, sem reikistjörnur geta myndast úr.
13. Hvernig viðheldur snúningsmælir stefnu sinni í geimnum?
    Svar: Snúningshreyfill hefur hornmóment. Þegar ytri togkraftur reynir að breyta stefnu sinni, þá fer hreyfillinn fram eða breytir snúningsás sínum í átt sem er hornrétt á beitt tog vegna varðveislu hornmómentsins.
14. Hvað veldur framrás í snúningsbolta?
    Svar: Snúningshreyfing í snúningsbolta stafar af togkrafti vegna þyngdaraflsins sem verkar á massamiðju snúningsboltans, sem er til hliðar frá snúningspunkti hans. Þetta tog veldur breytingu á stefnu hornmómenta snúningsboltans, sem veldur því að hann fer í snúningshreyfingu.
15. Hvers vegna fletjast stjörnur út við pólana sína?
    Svar: Þegar stjörnur snúast verða þær fyrir miðflóttaafli sem ýtir efni út á við. Þessi áhrif eru sterkari við miðbaug en á pólunum, sem leiðir til flatrar eða óblaðrar lögunar.
16. Hvernig tengist hornmómentum öðru lögmáli Keplers?
    Svar: Annað lögmál Keplers segir að línustrik sem tengir reikistjörnu og sólina sópar jafnstórum flatarmáli á jöfnum tímabilum. Þetta er afleiðing af varðveislu skriðþungans.
17. Af hverju lendir köttur alltaf á fótunum þegar hann dettur?
    Svar: Kettir nota varðveislu skriðþunga. Með því að snúa líkama sínum og breyta tregðumómentum sínum í lofti geta þeir stillt sig á fæturna án þess að brjóta varðveislulögmálin.
18. Hvernig tengist segulmomentið hornmómentinu í rafeindum?
    Svar: Segulmoment rafeinda stafar af snúningi hennar og brautarhyrndum skriðþunga. Segulmomentið er í réttu hlutfalli við hornmoment rafeindarinnar.
19. Hvað er hornmómentum miðað við pólhnit?
    Svar: Í pólhnitum, hornmómentum $L$ fyrir punktmassa er hægt að tákna sem $L=mrv$, Þar sem $m$ er massinn, $r$ er radíusfjarlægðin, og $v$ er snertihraðinn.
20. Hvað gerist við hornmómentið í lokuðu kerfi þegar tveir hlutir rekast saman?
    Svar: Í lokuðu kerfi þar sem tveir hlutir rekast saman er heildarhornmómentið fyrir áreksturinn jafnt heildarhornmómentinu eftir áreksturinn, að því gefnu að engin ytri togkraftar verki á kerfið.

Vandamál og lausnir

1. Dæmi: Punktmassi m = 2 kg hreyfist með hraðanum v = 3 m/s í hring með radíus r = 4 m. Reiknið hornmóment hans um miðju hringsins.

Lausn: $L=m\times r\times v$ =2 × 4 × 3 = 24 kg.m² ^/ s

2. Dæmi: Kúla með massa 3 kg og radíus 0.5 m snýst um þvermál sitt með hornhraða ω = 2 rad/s. Hver er hornmómentið?

Lausn: Fyrir fasta kúlu er I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Dæmi: Punktmassi sem vegur 3 kg hreyfist með hraðanum 4 m/s í beinni línu. Hver er hornmóment hans um punkt sem er 5 m frá hreyfilínu hans?

lausn:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Dæmi: Diskur með massa 5 kg og radíus 3 m snýst með hornhraða 2 rad/s. Reiknið út hornmóment hans.

Lausn: Fyrir disk er I = 1/2 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Dæmi: Stöng sem er 4 m löng og vegur 2 kg snýst um annan endann með hornhraðanum 3 rad/s. Finndu hornmómentið hennar.

Lausn: Fyrir stöng sem liggur um annan endann ^er I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Dæmi: Hver er breytingin á hornmómentum ef snúningshlutur tvöfaldar hornhraða sinn?

Lausn: Sambandið milli hornmómentans (L) og hornhraðans (ω) er $L=I\times \omega$ . Ef ω er tvöfaldað, þá tvöfaldast hornmómentið einnig.

7. Vandamál: Ef radíus hringlaga brautar hreyfandi agnar tvöfaldast en hraðinn helst stöðugur, um hvaða þátt breytist þá hornmómentið?

Lausn: Hornmómentó, $L=m\times r\times v$ . Ef r tvöfaldast, þá tvöfaldast L einnig.

8. Dæmi: Barn sem vegur 30 kg stendur á brún karrusels sem er í kyrrstöðu. Radíus karruselsins er 2 m. Ef barnið byrjar að hlaupa á hraðanum 2 m/s miðað við jörðina eftir brúninni, finnið þá skriðþunga barnsins miðað við miðjuna.

Lausn: $L=m\times r\times v$ =30 × 2 × 2 = 120 kg.m² ^/ s

9. Dæmi: Sívalur með massa 6 kg og radíus 2 m snýst um miðás sinn með hornhraða 5 rad/s. Reiknið út hornmóment hans.

Lausn: Fyrir sívalning er I = 1/2 m ^/ r²

$L=I\times \omega$ =1/2 × 6 × 2 ² × 5 = 120 kg.m² ^/ s

10. Dæmi: Hver verður nýi hornmómentið í hlut ef tregðumómentið er helmingað og hornhraðinn þrefaldast?

Lausn: Gefið að $L=I\times \omega$ , ef $I$ er helmingað og $\omega$ er þrefaldað, þá verður nýja $L$ 1/2 × 3 = 1.5 × upprunalega.

11. Dæmi: Hringur með massa 2 kg og radíus 1 m snýst með hornhraða 4 rad/s. Reiknið út hornmóment hans.

Lausn: Fyrir hring er I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2×12 ^× 4=8 kg.m² ^/ s

12. Dæmi: Vifta hefur blöð sem eru 0.5 m löng og vega 1 kg. Ef hún snýst með hornhraða 10 rad/s, ákvarðaðu þá hornmómentið.

Lausn: Að því gefnu að viftublöðin séu eins og stangir sem snúast um annan endann, þá ^er I =1/3 m l²

$L=I\times \omega$ =1/3 × 1 × 0.5 ² × 10 = 0.833 kg.m² ^/ s

13. Dæmi: Reiknið út hornmómentum jarðar um eigin möndul vegna snúnings hennar. Gefið: Massi jarðar ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , radíus $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁴rad\text{/s}$.

Lausn: Miðað við að jörðin sé kúla, þá er ^I = 2/5 m / r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Vandamál: Barn færist að miðju snúningspalls. Eykst, minnkar eða helst hornmómentið það sama?

Lausn: Hornmómentið varðveitist. Þegar barnið færist nær miðjunni minnkar tregðumómentið. Til að varðveita hornmómentið eykst hornhraðinn. Þannig helst hornmómentið það sama.

15. Dæmi: Ef hreyfiorka snúningshlutar tvöfaldast, um hvaða þátt breytist hornmóment hans?

Lausn: Hreyfiorka K = 1/2 ​I ω ² og Hornmóment $L=I\omega$ . Ef hreyfiorkan tvöfaldast og $I$ helst stöðug, þá tvöfaldast ω 2. Þetta þýðir að ω ^eykst$um$ þáttinn √2 ​. Þannig eykst $L$ einnig um þáttinn √2 ​.

16. Dæmi: Hjól með radíus 0.3 m hefur brún sem er 1.5 kg að massa. Ef það snýst með hornhraða 5 rad/s, finndu þá hornmómentið.

Lausn: Ef gert er ráð fyrir að brúnin sé hringur, þá er ^I = m / r²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Dæmi: Skautakona dregur handleggina inn á við á meðan hún snýst. Hvað gerist við skriðþunga hennar?

Lausn: Hornmómentið varðveitist. Með því að toga handleggina inn minnkar hún tregðumómentið og snýst því hraðar (aukin hornhraði) til að varðveita hornmómentið.

18. Dæmi: Svinghjól hefur tregðumóment upp á 0.2 ^kg.m² kg.m² og ^snýst með hornhraða 10 rad/s. Finndu hornmóment þess.

lausn:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Vandamál: Kerfi hefur núll ytra tog sem verkar á það. Hvað geturðu sagt um hornmómentið?

Lausn: Ef nettó ytra tog er núll, þá helst heildarhornmóment kerfisins stöðugur samkvæmt varðveislu hornmómentans.

20. Dæmi: Punktmassi m = 5 kg hreyfist með hraðanum v = 3 m/s hornrétt á línuna sem tengir hann við punktinn P. Ef fjarlægðin frá punktinum P er 4 m, finndu þá hornmóment hans um punktinn P.

lausn:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s