Nha nhata Ellipse na Jiometrị
Ellipse bụ usoro dị mkpa na geometry, nke na-apụta n'ọtụtụ ọnọdụ dị iche iche, site na mgbakọ na mwepụ dị ọcha ruo na ojiji na fisiksi, injinia, na mbara igwe. N'ikwu ya n'ụzọ dị mfe, enwere ike ịghọta ellipse dị ka "okirikiri gbatịrị agbatị" ka ọ wee dị ogologo n'otu ụzọ. Agbanyeghị, nkọwa nkịtị nke ellipse na-adọrọ mmasị karịa: ellipse bụ usoro nke isi ihe niile dị na mbara igwe nke mkpokọta anya ha site na isi ihe abụọ edobere (a na-akpọ foci) na-adịgide mgbe niile. Site na nkọwa a, enwere ike ịchọta ma mụọ nha nha nke ellipse, ma n'ụdị ọkọlọtọ na nke izugbe.
1. Ịghọta Ellipses na Ihe Ndị Ha Ji Mee Ihe
Iji ghọta usoro nke ellipse, anyị kwesịrị ịma isi ihe dị na ellipse:
1. Ebe etiti ellipse (etiti): etiti etiti ellipse, nke a na-ejikarị eme ihe n'ụdị \((h, k)\).
2. Isi axis: dayameta kachasị ogologo nke ellipse.
3. Obere axis: dayameta kacha mkpụmkpụ nke ellipse nke dị n'akụkụ isi axis.
4. Nleba anya (foci): isi ihe abụọ edobere nke na-eje ozi dị ka ntụaka maka nkọwa nke ellipse, nke a na-akpọkarị \(F_1\) na \(F_2\).
5. radius ọkara: ọkara ogologo nke isi axis, nke a na-egosi \(a\).
6. radius ọkara: ọkara ogologo nke obere axis, nke a na-akpọ \(b\).
7. Anya site n'etiti ruo na nke lekwasịrị anya: nke a na-akpọ \(c\), yana mmekọrịta elliptical nkịtị:
\[
c^2 = a^2 – b^2
\]
E nwere ọtụtụ echiche na-emegiderịta onwe ha ebe a: n'ime ellipse, \(a \ge b\) na-ejide mgbe niile, ebe foci dị n'akụkụ isi.
Ọzọkwa, e nwere echiche nke eccentricity \(e\) nke na-atụ "mkpụmkpụ mpụta" nke ellipse:
\[
e = \frac{c}{a}, \quad 0 \le e < 1
\]
Jika \(e = 0\), elips menjadi lingkaran (karena \(c = 0\), fokus berimpit di pusat).
2. Persamaan Standar Elips Berpusat di Titik Asal
Jika elips berpusat di titik asal \((0,0)\) dan sumbu-sumbunya sejajar sumbu koordinat, persamaan elips memiliki bentuk standar yang sangat dikenal.
a) Sumbu mayor horizontal
Jika sumbu mayor sejajar sumbu-\(x\), maka:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
dengan \(a > b\). Fokus terletak pada sumbu-\(x\), yaitu di titik:
\[
(\pm c, 0), \quad \text{na } c^2 = a^2 – b^2
\]
b) Axis isi kwụ ọtọ
Ọ bụrụ na isi axis dị n'akụkụ y, mgbe ahụ:
\[
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1
\]
na \(a > b\). Isi ihe a na-elekwasị anya bụ na axis \(y\)-, ya bụ:
\[
(0, \pm c), \quad c^2 = a^2 – b^2
\]
Ụdị ọkọlọtọ a na-eme ka ọ dị mfe ịgụ njirimara nke ellipse: ụkpụrụ nke \(a\) na \(b\) na-egosi kpọmkwem nha nke ellipse ahụ, ebe \(c\) na-ekpebi ọnọdụ nke foci ahụ.
3. Nha nhata Ellipse nke dị n'etiti \((h,k)\)
N'ọtụtụ nsogbu geometry nyocha, ellipse anaghị elekwasị anya mgbe niile na etiti nhazi. Ọ bụrụ na ellipse ahụ dị na \((h,k)\), mgbe ahụ nha nhata ọkọlọtọ na-agbanwe gaa na:
a) Axis ukwu kwụ ọtọ
\[
\frac{(xh)^2}{a^2} + \frac{(yk)^2}{b^2} = 1
\]
b) Axis isi kwụ ọtọ
\[
\frac{(xh)^2}{b^2} + \frac{(yk)^2}{a^2} = 1
\]
Mgbanwe a bụ naanị mgbanwe (nsụgharị) nke ellipse ahụ, nke dị na mbụ na mmalite. A na-elekwasị anya na etiti ọhụrụ ahụ:
– Maka axis ukwu kwụ ọtọ: \((h \pm c, k)\)
– Maka axis isi kwụ ọtọ: \((h, k \pm c)\)
4. Site na Nkọwa nke Nlekwasị Anya ruo na Nha nhata nke Ellipse
Enwere ike iji nkọwa nke ellipse dị ka mkpokọta anya ruo na foci abụọ na-adịgide adịgide dị ka ntọala maka ịmepụta nha nhata. Dịka ọmụmaatụ, were ya na foci dị na \((c,0)\) na \(-c,0)\), na isi ihe dị na ellipse bụ \((x,y)\). Anya nke isi ihe ahụ na ntinye ọ bụla bụ:
\[
d_1 = \sqrt{(xc)^2 + y^2}, \quad d_2 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}
\]
Ebe ọ bụ na ego ahụ na-agbanwe agbanwe:
\[
d_1 + d_2 = 2a
\]
Site na iji algebra (ịkpụcha okpukpu abụọ iji wepụ mgbọrọgwụ), anyị na-enweta nha nhata ahụ:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
na \(b^2 = a^2 – c^2\). Nke a na-egosi na ụdị ellipse ọkọlọtọ abụghị naanị usoro "e chetara n'isi", kama ọ sitere na nkọwa geometric.
5. Nha nhata izugbe nke Ellipse na njirimara ya
N'ọrụ, anyị na-ezutekarị nha nha quadratic nwere mgbanwe abụọ na-adịghị n'ụdị ọkọlọtọ, dịka ọmụmaatụ:
\[
Ax^2 + Site^2 + Cx + Dy + E = 0
\]
Usoro nha nhata dị otu a nwere ike ịnọchite anya ellipse, parabola, ma ọ bụ hyperbola. Iji hụ na ọ bụ ellipse (nwere axes na-anọchi anya nhazi), a na-ejikarị \(A\) na \(B\) eme ihe:
- otu akara ahụ (ma nke ọma ma ọ bụ nke ọjọọ abụọ),
– na n'ozuzu ha abụghị otu nha (ọ bụrụ na ha bụ otu nha ma enweghị okwu \(xy\), o yikarịrị ka ọdịdị ahụ bụ okirikiri).
Iji gbanwee gaa na ụdị ellipse ọkọlọtọ, usoro a na-ejikarị eme ihe bụ imecha square dị na okwu \(x\) na \(y\). Ihe atụ dị mfe:
\[
4x^2 + 9y^2 – 8x + 18y – 5 = 0
\]
Otu:
\[
4 (x^2 – 2x) + 9 (y^2 + 2y) = 5
\]
Mezue square ahụ:
\[
4 [(x-1)^2 – 1] + 9[(y+1)^2 – 1] = 5
\]
\[
4 (x-1)^2 + 9 (y+1)^2 = 5 + 4 + 9 = 18
\]
Maka mmadụ 18:
\[
\frac{(x-1)^2}{\frac{18}{4}} + \frac{(y+1)^2}{2} = 1
\]
nke bụ ụdị ọkọlọtọ nke ellipse nwere etiti \((1,-1)\).
6. Ojiji nke Ellipses na Geometry na Ndụ N'ezie
Ellipses abụghị naanị ihe e ji mara echiche. Na geometry na sayensị e tinyere n'ọrụ, ellipses na-arụ ọrụ dị mkpa:
1. Mbara Igwe (Iwu Kepler): okirikiri nke mbara ala dị elliptical ebe Anyanwụ nọ n'otu ebe.
2. Optics na acoustics: ihe onwunwe nke ntụgharị elliptical na-egosi na ebili mmiri site na otu ihe a na-elekwasị anya ga-apụta ìhè site na nke ọzọ. A na-eji nke a eme ihe na nhazi nke ụlọ egwu egwu ma ọ bụ ụfọdụ enyo reflector.
3. Injinịa igwe: ụfọdụ usoro gia ma ọ bụ cam na-eji ụzọ elliptical.
4. Nhazi ụlọ: ọdịdị elliptical na-enye njikọta nke mma na ọrụ ụda olu.
Site n'ịghọta nha nha ellipse, anyị nwere ike inyocha nha, ọnọdụ, na njirimara nke trajectories dị iche iche na sistemụ dị iche iche.
7. Kesimpulun
Usoro nhazi nke ellipse na geometry na-ejikọ oghere dị n'etiti nkọwa geometry (nchịkọta nke anya na foci abụọ na-adịgide adịgide) na nnọchite anya nyocha (usoro nhazi algebra na nhazi). Ụdị ọkọlọtọ nke ellipse na-eme ka ọ dị mfe ịchọpụta etiti, ogologo nke axes, na ọnọdụ nke foci, ebe enwere ike ịgbanwe ụdị izugbe ka ọ bụrụ ụdị ọkọlọtọ site na imecha square ahụ. Ịghọta ellipse anaghị enyere aka idozi nsogbu geometry nyocha kamakwa ọ na-emepe nghọta n'otú mgbakọ na mwepụ si akọwa ihe ndị sitere n'okike dị ka orbits mbara ala na njirimara nke ntụgharị ebili mmiri.
Ọ bụrụ na ịchọrọ, enwere m ike itinye ihe atụ nke nsogbu na mkparịta ụka zuru oke (dịka ọmụmaatụ ịchọpụta ihe lekwasịrị anya, ihe na-adịghị ahụkebe, ma ọ bụ ise eserese nke ellipse site na nha anya ya).
