Usoro Trapezoidal na Integrals
N'ime mgbakọ na mwepụ etinyere n'ọrụ, anyị na-enwekarị nsogbu nke ịgbakọ mpaghara dị n'okpuru mgbagọ. N'echiche, enwere ike idozi nke a site na iji njikọta doro anya. Agbanyeghị, n'omume, ọ bụghị ọrụ niile ka a na-ejikọta ngwa ngwa na nyocha. Ụfọdụ ọrụ dị mgbagwoju anya, data dị naanị na ụdị tabular, ma ọ bụ ụdị enweghị ihe mgbochi dị mfe. N'ọnọdụ ndị dị ka ndị a, ụzọ ọnụọgụgụ na-aghọ ihe dị mkpa. Otu n'ime ụzọ ọnụọgụgụ a ma ama ma na-ejikarị eme ihe bụ iwu trapezoidal, usoro nsonye maka njikọta nke na-ekewa mpaghara ahụ n'okpuru mgbagọ n'ime ọdịdị trapezoidal.
Echiche Dị Mkpa nke Integral A Na-ahụ Anya
N'ihe gbasara geometric, enwere ike ịghọta ihe dị mkpa nke \(\int_a^bf(x)\,dx\) dị ka mpaghara nke usoro \(y=f(x)\), axis \(x\), na ahịrị kwụ ọtọ \(x=a\) na \(x=b\) kpara ókè. Ọ bụrụ na \(f(x)\ge 0\), ihe dị mkpa bụ mpaghara dị mma. Ọ bụrụ na ọrụ ahụ nwere ụkpụrụ na-adịghị mma n'oge ụfọdụ, ihe dị mkpa na-enye "mpaghara mbinye aka".
Isi nsogbu na-ebilite mgbe:
1. Ọrụ \(f(x)\) enweghị ihe mgbochi nke ọrụ elementrị nwere ike igosipụta.
2. Uru nke \(f(x)\) bụ naanị n'oge ụfọdụ (data nnwale).
3. Ngụkọta ihe atụ anaghị arụ ọrụ nke ọma ma ọ bụ agaghị ekwe omume.
Nke a bụ ebe a na-eji usoro trapezoidal eme ihe iji tụọ uru dị n'ime ya site na iji ụkpụrụ ọrụ n'ebe ụfọdụ.
Echiche nke Usoro Trapezoidal
Usoro trapezoidal na-amalite site n'echiche dị mfe: ime ka usoro dị larịị nwee ahịrị kwụ ọtọ na obere oge ọ bụla. Ọ bụ ezie na usoro Riemann sum na-eji akụkụ kwụ ọtọ na mpaghara akụkụ anọ, usoro trapezoidal na-eji isi njedebe abụọ na obere oge ma jikọta ha na ahịrị kwụ ọtọ. Mpaghara dị n'okpuru ahịrị kwụ ọtọ na-emepụta trapezoid, ọ bụghị akụkụ anọ.
Ka anyị were ya na anyị chọrọ ịgbakọ:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
Anyị kewara oge \([a,b]\) n'ime obere oge \(n\) nke ogologo ha nhata. Ogologo oge obere oge ọ bụla bụ:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Isi ihe nkewa:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\ntụpọ,\;x_n=b
\]
Site na uru ọrụ:
\[
f(x_0), f(x_1), \ntụpọ, f(x_n)
\]
Na obere oge ọ bụla \([x_{i-1}, x_i]\), a na-eme ka mpaghara dị n'okpuru mgbago ahụ dị ka mpaghara trapezoid si dị:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\nri]
\]
Mgbe ahụ, a na-enweta mpaghara dum (ihe dị ka nha nhata) site na ịgbakwunye trapezoids niile:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\nri]
\]
Ọ bụrụ na edozi ya nke ọma, usoro iwu trapezoidal dị mgbagwoju anya ga-aghọ:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Rịba ama ụkpụrụ nke ọnụọgụgụ: a na-amụba isi ihe njedebe \(x_0\) na \(x_n\) site na 1, ebe a na-amụba isi ihe dị n'etiti site na 2.
Ihe Nlereanya Ngụkọta Dị Mfe
Ka e were ya na anyị chọrọ ịgakwuru:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
N'ihe gbasara nyocha, ihe dị n'ime ya bụ \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Agbanyeghị, anyị ga-eji usoro trapezoidal na \(n=4\).
1. Oge etiti \([0,2]\), mgbe ahụ:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Uru ọrụ:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Jiri usoro trapezoid mejupụtara ya:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
Ihe dị ka nsonaazụ nke 2,75 dị nnọọ nso na kpọmkwem uru nke 2,6667, yana njehie nke ihe dị ka 0,0833.
Njehie na Usoro Trapezoidal
Usoro trapezoidal bụ usoro ime ihe, nke pụtara na enwere ọdịiche dị n'etiti uru ihe dị ka na uru ihe dị n'ime ya n'ezie. Oke nke njehie ahụ na-emetụta:
1. Ọnụọgụ nke obere oge \(n\): nnukwu \(n\), obere \(h\), na n'ozuzu, nsonaazụ ya ziri ezi karịa.
2. Ngọngọ nke ọrụ ahụ: ọ bụrụ na ọrụ ahụ gbagọrọ agbagọ nke ukwuu (nwere nnukwu ihe mgbakwunye nke abụọ), usoro trapezoidal nwere ike ọ gaghị adị mma karịa usoro nhazi dị elu.
Maka ọrụ dị nro nke ọma (nwere ihe ndị na-agbanwe agbanwe nke abụọ na-aga n'ihu), enwere ike ịtụle njehie nke usoro trapezoidal mejupụtara:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
maka ụfọdụ \(\xi\) dị n'etiti \(a\) na \(b\). Site na usoro a, a pụrụ ịhụ na njehie ahụ dabara na \(h^2\). Ya bụ, ọ bụrụ na anyị ekewapụ \(h\) (ya bụ, okpukpu abụọ nke ọnụọgụgụ nke obere oge), njehie ahụ ga-ebelata ihe dị ka otu ụzọ n'ụzọ anọ.
Uru nke Usoro Trapezoidal
Usoro trapezoidal na-ewu ewu maka ọtụtụ ihe kpatara ya:
1. Dị Mfe na ngwa ngwa
Ngụkọta ahụ dị mfe, a pụkwara iji aka mee ya maka obere ikpe.
2. Dabara adaba maka data tebụl
Ọ bụrụ na uru nke \(f(x)\) bụ naanị n'ebe dị iche iche (dịka ọmụmaatụ nsonaazụ nha), enwere ike itinye usoro a ozugbo.
3. Izi ezi ka mma karịa usoro akụkụ anọ
Ebe ọ bụ na ọ na-eji njedebe abụọ ma na-eme ka ọrụ ahụ dị ka ahịrị kwụ ọtọ, ọ na-abụkarị ihe ziri ezi karịa ihe dị ka akụkụ anọ maka otu ọnụọgụ nke nkebi.
4. Iguzosi ike maka ọtụtụ ngwa injinia
Enwere ike iji usoro a dozie ọtụtụ nsogbu gbasara physics na injinia (dịka ọmụmaatụ ịgbakọ ọrụ, ike, mpaghara nkewa, mwepụ, na ihe ndị ọzọ).
Mmachi nke Usoro Trapezoidal
Ọ bụ ezie na usoro a bara uru, o nwere oke mgbochi:
1. Enweghị ezi ihe maka ọrụ ndị gbagọrọ agbagọ nke ukwuu
Ebe ọ bụ na ọ na-eji naanị ihe dị ka linear approximation na obere oge ọ bụla, ọrụ ndị nwere mgbanwe ngwa ngwa ma ọ bụ nkọ nkọ chọrọ nnukwu \(n\).
2. Ọ bụghị usoro dị elu
Njehie nke usoro nke \(h^2\); ụzọ ndị ọzọ dịka nke Simpson nwere ike inye obere njehie n'elu otu ọnụọgụ nke obere oge (ma ọ bụrụhaala na ọrụ ahụ dị ire ụtọ nke ọma).
3. Na-enwe mmetụta na nhọrọ oge
Ọ bụrụ na oge ahụ sara mbara nke ukwuu ma \(n\) dị obere, nsonaazụ ya nwere ike ịgbanwe nke ukwuu.
Penutup
Usoro njikọta trapezoidal bụ otu n'ime usoro kachasị mkpa na njikọta ọnụọgụgụ. Site n'ikewa oge n'ime obere akụkụ ma jiri ahịrị kwụ ọtọ dochie usoro ahụ, anyị nwere ike ime ka ihe dị n'ime ya dị ka ihe na-enweghị ịchọta ihe mgbochi n'ụzọ nyocha. Usoro a dị mfe, dị mfe itinye n'ọrụ, ọ bara uru karịsịa mgbe data ahụ dị iche ma ọ bụ na ọ siri ike ijikọ ọrụ ahụ.
Agbanyeghị, ndị na-eji usoro trapezoidal kwesịrị ịṅa ntị na ọnụọgụ nke obere oge na omume nke ọrụ ahụ ejikọtara. Maka ọrụ gbagọrọ agbagọ ma ọ bụ mgbe achọrọ nkọwa dị elu, enwere ike iji usoro trapezoidal site na ịbawanye \(n\), ma ọ bụ enwere ike ịtụle usoro ọnụọgụgụ ndị ọzọ dịka usoro Simpson ma ọ bụ Romberg. Site na nghọta dị mma, usoro trapezoidal na-aghọ ngwaọrụ dị irè ma bara uru maka idozi nsogbu dị iche iche dị mkpa na sayensị, injinia, na akụnụba.
