Արկի շարժում

Հոդված արկի շարժման և լուծումներով նմուշային խնդիրների մասին

Սկզբնական արագություն (v_o) և սկզբնական արագության բաղադրիչները (v_ox եւ v_oy)

Մարմին, որի պարաբոլիկ շարժումները միշտ ունեն սկզբնական արագություն: Քանի որ պարաբոլիկ շարժումը հորիզոնական և ուղղահայաց ուղղություններով շարժումների համադրություն է, սկզբնական արագությունն ունի նաև հորիզոնական և ուղղահայաց բաղադրիչներ:

Եթե ​​մարմինը շարժվում է պարաբոլիկ ուղղությամբ, ինչպես ցույց է տրված նկար 1-ում և 3-ում, ապա հորիզոնական ուղղությամբ սկզբնական արագությունը (vo/ _ox ) և ուղղահայաց ուղղությամբ սկզբնական արագությունը (vo/ _oy ) հաշվարկվում են հետևյալ հավասարման միջոցով՝

v _ox = v _o cos θ

վօյ = _վօ սին _θ

Եթե ​​մարմինը շարժվում է պարաբոլիկ ուղղությամբ, ինչպես նկար 2-ում է, ապա v _o = v _ox (vo _oy = 0):

Արագություն (v)_x եւ v_y) և դիրքը (x և y)

Հորիզոնական և ուղղահայաց ուղղություններով արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում հաշվարկվում է հետևյալ հավասարման միջոցով.

vx = _vox = հաստատուն ( հավասարաչափ _գծային շարժում )

v _y = vo _oy + gt կամ vy ₂ ⁼ vo _oy ² + 2 gh (ազատ անկման շարժում)

Հորիզոնական (x) և ուղղահայաց (y) ուղղություններով օբյեկտների դիրքը որոշակի ժամանակային միջակայքում հաշվարկվում է հետևյալ հավասարման միջոցով.

x = v _ox t

y = vo _oy t + 1⁄2 gt ²

Արագության (v) և դիրքի (h) արդյունարարը

Արդյունքում ստացված արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում հաշվարկվում է հետևյալ հավասարման միջոցով՝

Որոշակի ժամանակահատվածում օբյեկտների ուղղությունը հաշվարկվում է հետևյալ հավասարման միջոցով.

Նշումներ:

1. Պարաբոլիկ շարժման հորիզոնական բաղադրիչը համարվում է հավասարաչափ գծային շարժում, ուստի vox = vx միշտ հաստատուն է։

2. Պարաբոլիկ շարժման ուղղահայաց բաղադրիչը դիտվում է որպես ազատ անկման շարժում, ուստի եթե մարմինը շարժվում է պարաբոլիկ ուղղությամբ, ինչպես ցույց է տրված նկար 1-ում և 3-ում, առավելագույն բարձրության վրա գտնվող մարմնի արագության ուղղահայաց բաղադրիչը զրո է (vy ₌ 0): Եթե դուք գնդակը ուղղահայաց նետեք վերև առավելագույն բարձրության վրա, այն մի պահ կանգ կառնի (vy ₌ 0), նախքան ներքև շրջվելը: Հետևաբար, պարաբոլիկ շարժման արագությունը առավելագույն բարձրության վրա = v _x = v _ox

3. Եթե մարմինը շարժվում է պարաբոլիկ ուղղությամբ, ինչպես ցույց է տրված նկար 2-ում, պարաբոլիկ շարժման ուղղահայաց բաղադրիչը դիտվում է որպես ազատ անկման շարժում: Եթե մարմինը շարժվում է պարաբոլիկ ուղղությամբ, ինչպես ցույց է տրված նկար 1-ում և 3-ում, ապա պարաբոլիկ շարժման ուղղահայաց բաղադրիչը դիտվում է որպես վերև ուղղված ուղղահայաց շարժում:

Նմուշային խնդիրներ՝

1. Գնդակը կրակվել է հորիզոնական ուղղությամբ՝ սկզբնական 20 մ/վ արագությամբ: Եթե հրացանը գտնվում է գետնից 5 մետր բարձրության վրա, որոշեք՝

ա) օդում գտնվելու ժամանակը

(բ) առավելագույն բարձրությունը

(գ) հորիզոնական հեռավորությունը

դ) գնդակի արագությունը գետնին ընկնելու պահին

Լուծում

Հորիզոնական ուղղությամբ շարժումը վերլուծվում է որպես միատարր գծային շարժում, մինչդեռ ուղղահայաց ուղղությամբ շարժումը վերլուծվում է որպես ազատ անկման շարժում։

Հայտնի է:

v _ox = 20 մ/վ, v _oy = 0 մ/վ, h = 5 մ, g = 9.8 մ/վ ²

ա) Օդում գտնվելու ժամանակը

Լուծումը ազատ անկման շարժման ժամանակային միջակայքի (t) որոշումը կլինի։

Հայտնի է՝ vo _oy = 0 մ/վ, h = 5 մ, g = 9.8 մ/ ^վ²

Փնտրվում է։ t

բ) Առավելագույն բարձրությունը

Առավելագույն բարձրությունը = h = 5 մետր։

գ) Հորիզոնական հեռավորություն (դ)

Լուծումը նման է հավասարաչափ գծային շարժման վրա հեռավորությունը որոշելուն

Հայտնի է՝ v _ox = 20 մ/վ, t = 1 վայրկյան

Փնտրվում է։ դ

դ = վտ

d = (20 մ/վ)(1 վ) = 20 մ

դ) Արագությունը, երբ գնդակը հարվածում է գետնին

v _tx = v _ox = 20 մ/վրկ

վ _տի = ?

Նախ, մենք հաշվարկում ենք ուղղահայաց ուղղությամբ վերջնական արագությունը (vty): Լուծումը նման է ազատ անկման շարժման վերջնական արագության որոշմանը:

Հայտնի է՝ vo _oy = 0, g = 9.8 մ/վ² ^, t = 1 վ

Փնտրվում է. v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 մ/վ² ⁾ (1 վ)

v _t = 9.8 մ/վրկ

Գնդակի արագությունը գետնին ընկնելու պահին.

Փամփուշտի ուղղությունը՝

Քանի որ v _tx-ը դրական x առանցքի ուղղությամբ է (դեպի աջ), իսկ v _ty-ն ՝ բացասական y առանցքի ուղղությամբ (ներքև),

Գետնին հարվածելիս գնդակի ուղղությունը դրական x առանցքի նկատմամբ -26.1 ^{° է (տե՛ս ստորև նկարը):}

2. Թնդանոթը գնդակ է արձակել հորիզոնական ուղղությամբ 30 ^° անկյան տակ ՝ 60 մ/վ արագությամբ։ Որոշեք՝

(ա) առավելագույն բարձրությունը

բ) գնդակի արագությունը առավելագույն բարձրության վրա

(գ) օդում գտնվելու ժամանակը

(դ) հորիզոնական հեռավորությունը

(ե) գնդակի արագությունը գետնին հարվածելիս։ Ենթադրենք, որ գետինը հարթ է։ 🙂

Լուծում

Հորիզոնական ուղղությամբ շարժումը վերլուծվում է որպես միատարր գծային շարժում, իսկ ուղղահայաց ուղղությամբ շարժումը՝ որպես վերև ուղղված ուղղահայաց շարժում։

Հայտնի է՝ v _o = 60 մ/վրկ, թետա = 30 ^o ։

Հայտնի տվյալների հիման վրա մենք նախ հաշվարկում ենք սկզբնական արագության ( vo ₎ ուղղահայաց (vo _-oy ) և հորիզոնական (vo- _ox ) բաղադրիչները ։

ա) Առավելագույն բարձրությունը (ժ)

Լուծումը նման է վերև ուղղված ուղղահայաց շարժման վրա առավելագույն բարձրությունը որոշելուն։

Հայտնի է:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 մ/վ

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 մ/վ

ա) Առավելագույն բարձրություն (ժ)

Լուծումը նման է ուղղահայաց վերև շարժման վրա առավելագույն բարձրությունը որոշելուն։

Հայտնի է:

v _oy = 30 մ/վ (սա փամփուշտի սկզբնական արագությունն է)

v _ty = 0 մ/վ (Առավելագույն բարձրության վրա գնդակի ուղղահայաց արագությունը = 0 մ/վ է։ Սա վերջնական արագությունն է։)

g = – 9.8 մ/ ^վ²

Փնտրվում է։ ժ

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ժ

0 = 900 – 19.6 ժամ

900 = 19.6 ժամ

հ = 900 / 19.6

h = 45.9 մետր

Փամփուշտի կողմից հասած առավելագույն բարձրությունը՝ 45.9 մետր։

բ) առավելագույն բարձրության վրա արագությունը

Առավելագույն բարձրության վրա ուղղահայաց ուղղությամբ արագությունը = 0 մ/վ է։ Առավելագույն բարձրության վրա կա միայն հորիզոնական ուղղությամբ արագություն։ Առավելագույն բարձրության վրա հորիզոնական ուղղությամբ արագությունը հավասար է հորիզոնական ուղղությամբ սկզբնական արագությանը, որը կազմում է 52.2 մ/վ։ Հորիզոնական ուղղությամբ արագության ուղղությունը միշտ հաստատուն է, այսինքն՝ դրական x առանցքի ուղղությամբ (եթե մարմնի շարժումը նկարագրված է վերևում գտնվող դիագրամում)։

գ) Օդում անցկացրած ժամանակը

Լուծումը նման է ուղղահայաց վերև շարժման քննարկման մեջ ժամանակային միջակայքի (t) որոշմանը։

Հայտնի է:

v _oy = 30 մ/վ (սա գնդակի սկզբնական արագությունն է ուղղահայաց ուղղությամբ)

g = – 9.8 մ/ ^վ²

h = 0 մ (երբ գնդակը վերադառնում է գետնին, գնդակի ուղղահայաց ուղղությամբ տեղաշարժը = 0 մ)

Փնտրվում է։ t

h = v _o t + ½ gt ²

⁰ = (30) t + ½ (-9.8 մ/վ² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 ^t2

30 = 4.9 տ

t = 30 / 4.9

t = 6.12 վայրկյան

Օդում գտնվելու ժամանակը = 6.12 վայրկյան

դ) Հորիզոնական հեռավորություն (դ)

Լուծումը նման է հավասարաչափ գծային շարժման վրա հեռավորությունը (d) որոշելուն։

Հայտնի է:

v _ox = 52.2 մ/վ

t = 6.12 վայրկյան

Փնտրվում է։ դ

d = vt = (52.2 մ/վ)(6.12 վայրկյան) = 319.5 մ

ե) Արագությունը, երբ գնդակը հարվածում է գետնին

v _tx = v _ox = 52.2 մ/վրկ

վ _տի = ?

Նախ, մենք հաշվարկում ենք ուղղահայաց ուղղությամբ վերջնական արագությունը (v _ty ): Լուծումը ուղղահայաց վերև շարժման վերջնական արագությունը որոշելն է:

Ցանկալի է. vo _oy = 30 մ/վ, g = -9.8 մ/վ² ^, t = 6.12 վայրկյան

Փնտրվում է. v _ty

վ _թյ = վոյ ₊ գթ

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 մ/վ

Բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ վերջնական արագության ուղղությունը դեպի ներքև է։ Նշենք, որ ուղղահայաց ուղղությամբ սկզբնական արագությունը հավասար է ուղղահայաց ուղղությամբ վերջնական արագությանը։

Գնդակի արագությունը գետնին ընկնելու պահին.

Փամփուշտի ուղղությունը.

Քանի որ v _tx-ը դրական x առանցքի ուղղությամբ է (դեպի աջ), իսկ vty-ն՝ բացասական y առանցքի ուղղությամբ (ներքև),

Գետնին հարվածելիս գնդակի արագության ուղղությունը դրական x առանցքի նկատմամբ -30 ^{° է (տե՛ս ստորև նկարը):}

3. 50 մետր բարձրությամբ շենքի եզրից գնդակը նետվում է 10 մ/վ սկզբնական արագությամբ: Եթե գնդակը նետվում է հորիզոնականի նկատմամբ 30° անկյան տակ, որոշեք՝

ա) այն ժամանակահատվածը, որի ընթացքում գնդակը հասնում է գետնին

բ) գնդակի արագությունը գետնին ընկնելու պահին

(գ) գնդակի կողմից հասանելի հորիզոնական հեռավորությունը չափվում է շենքի եզրից։

(դ) գնդակի հասած առավելագույն բարձրությունը

Լուծում

Նախ, մենք հաշվարկում ենք սկզբնական արագության ( _vo ) ուղղահայաց բաղադրիչը (vo _-oy ) և հորիզոնական բաղադրիչը (vo- _ox ) :

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 մ/վ)(0.87) = 8.7 մ/վ

վոյ = վոյ _սին 30 ^{օ = (10 մ} _/ վ)(0.5) = 5 մ/վ

ա) Գնդակի գետնին հասնելու ժամանակահատվածը

Լուծումը նման է ուղղահայաց վերև շարժման ժամանակային միջակայքի (t) որոշմանը։ Վերև ուղղված վեկտորի մեծությունը ընտրվում է դրական, ներքև ուղղված վեկտորի մեծությունը՝ բացասական։ Որպես հենակետային կետ ընտրվում է այն գնդակի դիրքը, որտեղ այն նետվում է։ h-ը բացասական է, քանի որ գետնի մակերեսը գտնվում է հենակետային կետից ցածր, g-ն՝ բացասական, քանի որ ձգողության ուժի արագացման ուղղությունը ներքև է։

Հայտնի է:

v _oy = 5 մ/վ, h = – 5 մ, g = – 9.8 մ/ ^վ²

Փնտրվում է։ t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 տ – 4.9 տ ²

-4.9 տ ² + 5 տ + 5 = 0

Օգտագործեք քառակուսային բանաձևը՝

Օդում գտնվելու ժամանակը = գնդակի գետնին հասնելուց հետո ընկած ժամանակահատվածը = 1.64 վայրկյան։

բ) գնդակի արագությունը գետնին հարվածելու պահին

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 մ/վրկ

վ _տի = ?

Նախ, մենք հաշվարկում ենք ուղղահայաց ուղղությամբ վերջնական արագությունը (v _ty ): Լուծումը նման է ուղղահայաց վերև շարժման վերջնական արագությունը որոշելուն:

Հայտնի է՝ vo _oy = 5 մ/վ, g = -9.8 մ/վ² ^, t = 1.64 վայրկյան

Փնտրվում է. v _ty

վ _թյ = վոյ ₊ գթ

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 մ/վ

Բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ վերջնական արագության ուղղությունը դեպի ներքև է։

Գնդակի արագությունը գետնին ընկնելու պահին.

Գնդակի արագության ուղղությունը = գնդակի շարժման ուղղությունը գետնին ընկնելու պահին։

Գնդակի արագությունը գետնին ընկնելու պահին.

Քանի որ vtx-ը գտնվում է դրական x առանցքի ուղղությամբ (դեպի աջ), իսկ vty-ն՝ բացասական y առանցքի ուղղությամբ (ներքև),

Գետնին հարվածելիս գնդակի ուղղությունը դրական x առանցքի նկատմամբ -52° է (տե՛ս ստորև նկարը):

գ) Գնդակի կողմից հասանելի հորիզոնական հեռավորությունը չափվում է շենքի եզրից։

Լուծումը նման է հավասարաչափ գծային շարժման ժամանակ անցած ճանապարհը (d) որոշելուն։

Հայտնի է՝ t = 1.64 վայրկյան, v _x = 8.7 մ/վ

Փնտրվում է։ դ

d = vt = (8.7 մ/վ)(1.64 վ) = 14.3 մ

դ) գնդակի հասած առավելագույն բարձրությունը

Հայտնի է՝ vo _oy = 5 մ/վ, v _ty = 0 մ/վ ( արագության ուղղահայաց բաղադրիչը առավելագույն բարձրության վրա = 0 մ/վ), g = -9.8 մ/ ^վ² ։

Փնտրվում է։ ժ

վ _տի ² = վոյ ₂ ⁺ 2 գհ

0 մ/վ = (5 մ/վ) ² + 2(-9.8 մ/վ ² )(ժ)

0 մ/վ = 25 (մ/վ) ² + (-19.6 մ/վ ² )(ժ)

25 (մ/վ) ² = -19.6 մ/վ 2 (ժ)

h = 25 (մ/վ) ² : -19.6 մ/վ ² = 1.3 մետր

Գնդակի հասած առավելագույն բարձրությունը = շենքի գագաթից 1.3 մետր բարձրություն = 1.3 մ + 50 մ = գետնի մակերևույթից 51.3 մետր բարձրություն։