Գաուսի օրենքի հարցերի օրինակներ և քննարկում
Գաուսի օրենքը էլեկտրամագնիսականության հիմնական հենասյունն է։ Այն ապահովում է էլեկտրական լիցքի բաշխման արդյունքում առաջացած էլեկտրական դաշտը հաշվարկելու արդյունավետ միջոց։ Այս հոդվածում մենք կքննարկենք մի քանի օրինակելի խնդիրներ և կքննարկենք Գաուսի օրենքի կիրառությունները տարբեր իրավիճակներում։
Գաուսի օրենքի հիմնական հասկացությունը
Մինչև օրինակային խնդիրներին անցնելը, եկեք վերանայենք Գաուսի օրենքի հիմնական հասկացությունը։ Գաուսի օրենքը նշում է, որ փակ մակերեսից եկող ընդհանուր էլեկտրական հոսքը (≤₂E₀) համեմատական է մակերեսով պարփակված ընդհանուր լիցքին (q₂in) ։ Մաթեմատիկորեն, Գաուսի օրենքը արտահայտվում է հետևյալ կերպ.
\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
Որտեղ՝
– \( \Phi_E \)-ն էլեկտրական հոսքն է։
– \( \mathbf{E} \)-ն էլեկտրական դաշտն է։
– \( A)-ն մակերևույթի մակերեսի վեկտորն է։
– \(q_{in} \)-ն փակ մակերևույթի ներսում գտնվող լիցքն է։
– \( \epsilon_0 \)-ը վակուումի դիէլեկտրիկ թափանցելիությունն է (\( \epsilon_0 \մոտավորապես 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \))։
Օրինակ՝ հարց 1. Էլեկտրական դաշտը դատարկ հաղորդիչ գնդում
Հարց՝
Դուք ունեք խոռոչ հաղորդիչ գունդ՝ արտաքին շառավղով (R) և ընդհանուր լիցքով (Q): Որոշեք խոռոչ հաղորդչի ներսում գտնվող էլեկտրական դաշտը:
Քննարկում.
– Գաուսյան մակերևույթի որոշում.
Ենթադրենք, որ մենք ընտրում ենք հաղորդիչ խոռոչի ներսում (որտեղ r < R) շառավղով համակենտրոն գնդաձև գաուսյան մակերևույթ։
– Հոսքի և լիցքի հաշվարկ.
Քանի որ հաղորդիչ գնդի ներքին մասը դատարկ խոռոչ է, գաուսյան մակերևույթի ներսում լիցքը զրո է (\(q_{in} = 0 \)):
- Գաուսի օրենքի կիրառումը.
Գաուսի օրենքի համաձայն՝
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Քանի որ q_{in} = 0 է, ապա էլեկտրական հոսքը նույնպես զրո է։
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0
\]
- Եզրակացություն.
Քանի որ էլեկտրական հոսքը զրո է, դա նշանակում է, որ խոռոչի ներսում գտնվող յուրաքանչյուր կետում էլեկտրական դաշտը (E) նույնպես զրո է։
Այսպիսով, հաղորդիչ խոռոչի ներսում էլեկտրական դաշտը \(0 \, \text{N/C} \) է։
Օրինակ 2. Անվերջ թիթեղի էլեկտրական դաշտը
Հարց՝
Հաշվարկեք էլեկտրական դաշտը անսահման մետաղական թիթեղի մոտ, որն ունի մակերեսային լիցքի խտություն (sigma):
Քննարկում.
– Գաուսյան մակերևույթի որոշում.
Ընտրեք գլանաձև գաուսյան մակերևույթ՝ «Գաուսյան դեղարկղ», որի մակերեսները գտնվում են թիթեղի վերևում և ներքևում, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի A մակերես։
– Հոսքի և լիցքի հաշվարկ.
Մակերևույթի երկու ծայրերից դուրս եկող ընդհանուր էլեկտրական հոսքը կազմում է.
\[
\Phi_E = 2EA
\]
որտեղ E-ն թիթեղի երկու կողմերում գտնվող էլեկտրական դաշտն է։ Գաուսյան մակերևույթով շրջապատված ընդհանուր լիցքը՝ q_{in}
\[
q_{in} = \sigma \cdot A
\]
- Գաուսի օրենքի կիրառումը.
Գաուսի օրենքի համաձայն՝
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Այսպիսով,
\[
2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\]
Պարզեցնելով.
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\]
- Եզրակացություն.
Անսահման մետաղական թիթեղի մոտ գտնվող էլեկտրական դաշտը հետևյալն է.
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)}
\]
Օրինակ 3. Էլեկտրական դաշտ կետային լիցքի շուրջ
Հարց՝
Հաշվարկեք էլեկտրական դաշտը կետային լիցքից (q) (r) հեռավորության վրա։
Քննարկում.
– Գաուսյան մակերևույթի որոշում.
Ընտրեք կետային լիցքի (q) շառավղով (r) գնդաձև գաուսյան մակերևույթ։
– Հոսքի և լիցքի հաշվարկ.
Գաուսյան մակերևույթից դուրս եկող ընդհանուր էլեկտրական հոսքը կազմում է.
\[
\Phi_E = E \cdot 4\pi r^2
\]
Գաուսյան մակերևույթով շրջապատված ընդհանուր լիցքը (q_{in}) կետային լիցքն է (q)։
- Գաուսի օրենքի կիրառումը.
Գաուսի օրենքի համաձայն՝
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Այսպիսով,
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}
\]
Պարզեցնելով.
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
- Եզրակացություն.
Կետային լիցքից (q) որոշակի հեռավորության վրա էլեկտրական դաշտը հետևյալն է՝
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)}
\]
Օրինակ 4. Էլեկտրական դաշտը միատարր լիցք պարունակող գնդի ներսում և դրսում
Հարց՝
R շառավղով պինդ գունդն ունի Q լրիվ լիցք, որը հավասարաչափ բաշխված է։ Հաշվարկեք էլեկտրական դաշտը գնդիկի ներսում (r < R) և գնդիկից դուրս (r > R) կետերում։
Քննարկում.
\(r < R \)-ի համար՝
– Գաուսյան մակերևույթի որոշում.
Ընտրեք գնդաձև գաուսյան մակերևույթ՝ պինդ գնդի ներսում՝ r շառավղով։
- Բեռի հաշվարկ.
Քանի որ լիցքը բաշխված է հավասարաչափ, r շառավղով լիցքը հետևյալն է՝
\[
q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
\]
որտեղ (\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}).
\[
q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)
\]
- Գաուսի օրենքի կիրառումը.
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Այսպիսով,
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0}
\]
Պարզեցնելով.
\[
E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}
\]
Այսպիսով, գնդի ներսում գտնվող էլեկտրական դաշտը (\(r < R \)) հավասար է՝ \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] Եթե \(r > R \):
– Գաուսյան մակերևույթի որոշում.
Ընտրեք գնդաձև գաուսյան մակերևույթ՝ պինդ գնդի սահմաններից դուրս (r) շառավղով։
- Բեռի հաշվարկ.
Գաուսյան մակերևույթի ընդհանուր լիցքը գնդի (Q) ընդհանուր լիցքն է։
- Գաուսի օրենքի կիրառումը.
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
Այսպիսով,
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
Պարզեցնելով.
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Այսպիսով, գնդից դուրս էլեկտրական դաշտը (\(r > R\)) հավասար է.
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
Եզրակացություն
Գաուսի օրենքը հզոր գործիք է էլեկտրական դաշտերը վերլուծելու համար բազմազան իրավիճակներում: Ընտրելով համապատասխան գաուսյան մակերես և կիրառելով դրա հիմնական սկզբունքները՝ մենք կարող ենք ավելի արդյունավետ հաշվարկել էլեկտրական դաշտի բաշխումները : Վերոնշյալ օրինակների միջոցով մենք տեսել ենք Գաուսի օրենքի կիրառությունները այնպիսի իրավիճակներում, ինչպիսիք են էլեկտրական դաշտը հաղորդիչ գնդի, անվերջ մետաղական թիթեղի, կետային լիցքի և միատարր լիցք պարունակող գնդի էլեկտրական դաշտը: Հետևողական ըմբռնումը և պրակտիկան կապահովեն Գաուսի օրենքի ամուր կիրառումը էլեկտրամագնիսականության տարբեր կիրառություններում:
