Mann-Whitney teszt statisztikában
A statisztika a matematika egyik ága, amely az adatok gyűjtésével, elemzésével, értelmezésével és megjelenítésével foglalkozik. A statisztikát számos területen használják adatvezérelt döntések meghozatalára. A statisztikában az egyik gyakran használt technika a Mann-Whitney-teszt (más néven Mann-Whitney U-teszt vagy Wilcoxon rangösszeg-teszt). Ez egy nemparametrikus módszer, amelyet annak meghatározására használnak, hogy van-e szignifikáns különbség két párosítatlan csoport között.
Bevezetés a Mann-Whitney tesztbe
A Mann-Whitney tesztet Henry Mann és Donald Whitney vezette be 1947-ben a t-próba nemparametrikus alternatívájaként. Ez a módszer nem igényli a normalitás feltételezését. Ezért különösen hasznos, ha az adatok nem normális eloszlást követnek, vagy ha a minta elemszáma túl kicsi a normalitás feltételezésének érvényesítéséhez.
A Mann-Whitney-teszt alapelvei
A Mann-Whitney tesztet két csoport mediánjainak összehasonlítására használják. Az alapelv a következő:
1. Megfigyelés rangsorolása: Mindkét csoportból származó összes adatot összevonják, és a legkisebbtől a legnagyobbig rangsorolják. Ha azonos értékek vannak, akkor minden megfigyelést a megfelelő rangsor átlaga alapján rangsorolnak.
2. Statisztikai próba kiszámítása: A statisztikai próba értékét (U) az egyes csoportok rangjainak összege alapján számítjuk ki. Kétféleképpen számíthatjuk ki: az egyik az első csoporttal, a másik a második csoporttal kezdődik.
– Az U általános képlete:
\[
U_1 = n_1 ⋅ n_2 + ⋅ {n_1 ⋅ (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
vagy
\[
U_2 = n_1 ⋅ n_2 + ⋅ {n_2 ⋅ (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
Ahol:
– \(n_1\) és \(n_2\) az egyes csoportokban lévő megfigyelések száma,
– \(R_1\) és \(R_2\) az egyes csoportok rangjainak száma.
3. Szignifikanciavizsgálat: A szignifikanciavizsgálatot a p-érték meghatározására végezzük. Nagy mintaelemszám esetén az U-eloszlás normális eloszlással közelíthető.
Feltételezések a Mann-Whitney tesztben
Bár a Mann-Whitney-teszt egy nemparametrikus próba, és nem követeli meg a normális eloszlás feltételezését, számos kapcsolódó feltételezésnek kell teljesülnie az eredmények érvényességéhez:
1. Függetlenség: Mindkét csoportban minden megfigyelésnek függetlennek kell lennie egymástól.
2. Ordinális vagy intervallum skálán: Az adatoknak ordinális vagy intervallum skálán kell lenniük. Ez azt jelenti, hogy az adatok rendezhetők és rangsorolási információkat tartalmaznak.
3. Eloszlási tartomány: Mindkét csoport eloszlásának azonos alakúnak kell lennie (bár a medián eltérő lehet).
A Mann-Whitney-teszt végrehajtásának lépései
A Mann-Whitney teszt elvégzéséhez általában a következő lépéseket kell követni:
1. Adatok egyesítése és rendezése: Kombinálja mindkét csoport adatait, és rendezze őket összességében. A rangsorolás a sorrendnek megfelelően történik, az átlagértékhez kötött rangsorolási korrekciókkal.
2. Számítsa ki a rangsorok számát: Számítsa ki az egyes csoportok rangjainak számát.
3. Statisztikai U-érték meghatározása: Használja a korábban ismertetett képletet mindkét csoport U-értékének kiszámításához.
4. A kritikus érték vagy p-érték meghatározása: Hasonlítsa össze a kapott U-értéket az U-eloszlási táblázatból származó kritikus értékkel (vagy számítsa ki a p-értéket) annak megállapítására, hogy a csoportok közötti különbség statisztikailag szignifikáns-e.
Tegyük fel például, hogy két adathalmazunk van, A és B. Ezek az adatok egy adott betegség két különböző terápiáját képviselhetik, és tudni szeretnénk, hogy az egyik terápia hatékonyabb-e a másiknál.
Gyakorlati példa
Tegyük fel, hogy két terápiás csoportunk van:
– A terápia: [85, 90, 88, 75, 91]
– B. terápia: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Adatok egyesítése és rendezése:
– Összetett: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Sorrend és rangsor: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. A rangok számának kiszámítása:
– A terápiás értékelések száma: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– B terápiás értékelések száma: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Az U-érték kiszámítása:
\[
U_A = n_1 szor n_2 + ∫_1 szor (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 szor 5 + ∫_5 szor (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 ⋅ n_2 + ⋅ n_2 ⋅ (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 ⋅ 5 + ⋅ 5 ⋅ (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Válasszon kisebb U-értéket, nevezetesen U = 11-et.
4. A jelentőség meghatározása:
Hasonlítsa össze a kapott U-értéket a Mann-Whitney eloszlás táblázatából származó kritikus U-értékkel, vagy számítsa ki a p-értéket. Ha az U kisebb, mint a kritikus érték, vagy a p-érték alacsonyabb, mint az alfa (pl. 0,05), akkor elvetjük a nullhipotézist, és arra a következtetésre jutunk, hogy a két csoport között szignifikáns különbség van.
A Mann-Whitney teszt előnyei és korlátai
Előnyök:
1. Nemparametrikus: Nem igényli a normális eloszlás feltételezését.
2. Rugalmasság: Akkor használható, ha az adatok ordinális skálán vannak, vagy kiugró értékeket tartalmaznak.
3. Egyszerű és hatékony: Könnyen kiszámítható és értelmezhető.
Keterbatasan:
1. Hatékonyságvesztés: Normális eloszlás esetén a t-próba hatékonyabb.
2. Azonos eloszlási forma feltételezése: Ez a teszt feltételezi, hogy a két csoport között azonos eloszlási forma van.
3. Kis mintákra vonatkozó korlátozás: Az aszimptotikus eloszlás kevésbé pontos lehet nagyon kis minták esetén.
Következtetés
A Mann-Whitney teszt egy hatékony és rugalmas, nem paraméteres eszköz két párosítatlan csoport közötti különbségek azonosítására. Az alapelveinek és a megvalósítás lépéseinek megértésével ezt a tesztet számos alkalmazásban használhatjuk különböző kutatási területeken. Bár vannak korlátai, bizonyos körülmények között az előnyei nagyon értékes módszerré teszik a statisztikában.
