Cikk a Poiseuilles-egyenletről
A Poiseuille-egyenletet Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869) fedezte fel. Ahogy kifejtettük, minden folyadék ideális folyadéknak tekinthető. Az ideális folyadéknak nincs viszkozitása. Ha feltételezzük, hogy egy ideális folyadék áramlik egy csőben, akkor a folyadék minden része azonos sebességgel (v) mozog. Az ideális folyadékkal ellentétben a mindennapi életben előforduló valós folyadéknak viszkozitása van. Mivel viszkozitása van, ezért például csőben áramló folyadék egyes részeinek sebessége változik. A középső folyadékréteg gyorsabban mozog (mély v), ezzel szemben a csőhöz tapadó folyadékréteg nem mozog (v = 0). Tehát a cső közepétől a széléig a folyadék minden része különböző sebességgel mozog. A könnyebb megértés érdekében figyelje meg az alábbi képet.
R = a cső/cső sugara
v 1 = folyadékáramlási sebesség a középső / csőtengelyben
v 2 = a cső szélétől r 2 távolságra lévő folyadékáramlási sebesség
v 3 = a folyadék áramlási sebessége r 3 a cső szélétől mérve
v 4 = a folyadék áramlási sebessége r 4 a cső szélétől számítva
r = távolság
Ahhoz, hogy a folyadék minden egyes részének áramlási sebessége azonos legyen, nyomáskülönbségnek kell lennie a cső vagy bármely csővezeték mindkét végén, amelyen a folyadék áthalad. Folyadék alatt itt valódi folyadékot értünk, például vizet vagy olajat, amely egy csövön áramlik, vért, amely egy érben áramlik stb. Amellett, hogy elősegíti a valódi folyadék sima áramlását, a nyomáskülönbség a folyadékok különböző magasságú csövekben történő áramlását is elősegítheti.
Jean Louis Marie Poiseuille, egykori francia tudós, akit az emberi vérkeringés fizikai aspektusai érdekeltek, azt kutatta, hogy az olyan tényezők, mint a nyomáskülönbség, a cső keresztmetszete és a cső mérete, hogyan befolyásolják a tényleges folyadékáramlási sebességet. Az eredményeket Poiseuille-egyenletként ismerjük.
A Poiseuille-egyenlet levezethető egy korábban már kiszámított viszkozitási együttható egyenlet segítségével. A viszkozitási egyenletet használjuk, mert az esetek hasonlóak, bár nem azonosak. A viszkozitási együttható egyenlet levezetésekor a valós folyadékréteg áramlását vizsgáljuk két párhuzamos lemez között, és a folyadék a vonzás (F) miatt mozoghat. A különbség az, hogy a levezetendő Poiseuille-egyenlet megadja azokat a tényezőket, amelyek befolyásolják a valódi folyadék áramlását a csőben/csővezetékben, valamint a nyomáskülönbség miatt áramló folyadékot. Ezért a viszkozitási együttható egyenletet ismét módosítani kell.
Ha a folyadék nyomáskülönbség miatt áramolhat (a folyadék nagy nyomású helyről alacsony nyomású helyre áramlik), akkor F-et p 1 – p 2 -vel helyettesítjük (p 1 > p 2 ).
A viszkozitási együttható egyenletének levezetésekor a valós folyadékréteg áramlását vizsgáljuk két párhuzamos lemez között. A folyadék minden része l-ig változtatja szabályos sebességét. Ebben az esetben a folyadék áramlási sebessége a cső tengelyétől a cső széléig szabályosan változik. A cső tengelyében a folyadék nagyobb (v) sebességgel áramlik. Minél nagyobb az él, annál kisebb a folyadék sebessége. A cső sugara = a cső tengelye és a cső széle közötti távolság = R. A folyadék minden egyes része és a cső széle közötti távolság = r. Mivel a folyadék minden egyes részének mennyisége hatalmas, és a cső szélétől való távolságuk is eltérő, ezért egyszerűen így írjuk:
v 1 = a cső szélétől r 1 távolságra lévő folyadék sebessége (r 1 = R)
v² = a cső szélétől r² távolságra lévő folyadék sebessége ( r² < r¹ )
v3 = a folyadék sebessége a cső szélétől r3 távolságra ( r3 < r2 < r1 )
v 4 = a cső szélétől r 4 távolságra lévő folyadék sebessége (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
……………………………………… ..
v n = a folyadék áramlási sebessége a cső szélétől rn távolságban (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
A folyadék minden egyes részének mennyisége hatalmas, és azt sem tudjuk pontosan, hogy valójában mennyi is a mennyiség, ezért elég n-nel írni. A folyadék minden egyes része szabályosan változtatja a sebességét (v) a cső tengelyétől (r1 = R) a cső széléig (rn). A cső tengelyétől (r1 = R) a cső széléig (rn) a folyadék minden egyes részének sebessége kisebb (v1 > v2 > v3 > v4 > ….> vn ).
A fenti magyarázatból látható, hogy R-től rn-ig a folyadéksebesség csökken. Csőhossz = L. A kapott egyenlet:
Mivel a folyadék áramlási sebességét vizsgáljuk , a 2. egyenlet a következőképpen alakul:
Ez a folyadék áramlási sebességének egyenlete r távolságban az R sugarú csőtől. Ha a fenti kép nézése közben valami összezavarodik… Fontos megjegyezni, hogy a folyadék egy csőben áramlik, ezért át kell tekintenünk a folyadék térfogatának áramlási sebességét.
A cső belsejében folyadék van. Például a folyadékot apró részekre osztjuk, ahol minden rész egységnyi dA felülettel rendelkezik, távolságra van a cső tengelyétől, és áramlási sebessége v. Matematikailag a következőképpen írható fel:
dA 1 = a 1. folyadékrész, amely dr 1 távolságra van a cső tengelyétől
dA 2 = a 2. folyadékrész, amely dr 2 távolságra van a cső tengelyétől
dA 3 = a 3. folyadékrész, amely dr 3 távolságra van a cső tengelyétől
..................................
dAn = a folyadék n része, amely dn távolságra van a cső tengelyétől
A folyadék részei nagyon sokak, ezért egyszerűen n-nel írjuk, hogy praktikusabb legyen. A folyadék egyes részeinek térfogatárama matematikailag a következőképpen írható fel:
A folyadék minden része r = 0 és r = R közötti távolságra van (R = cső sugara). Más szóval, a folyadék minden részének távolsága a cső tengelyétől mérve változik. A csőben lévő folyadék térfogatáramának egyenletét kapjuk:
Q = Kiáramlási átmérő, R = a cső vagy csővezeték sugara, η = viszkozitási együttható, P1 – p2 = Nyomáskülönbség a cső két vége között, L = csőhossz, p1 -p2 / L = Nyomásgradiens ( a folyadék áramlása mindig a nyomásesés irányában van)
A fenti Poiseuille-egyenlet alapján úgy tűnik, hogy a folyadék térfogatának áramlási sebessége (Q) arányos a cső sugarával (R 4 ), a nyomásgradienssel (p 2 – p 1 / L), és fordítottan arányos a viszkozitással. Ha a cső sugarát hozzáadjuk (viszkozitási együttható és fix nyomásgradiens), akkor a folyadék áramlási sebessége 16-szorosára nő.
A csőtervezés alapkoncepciójában használjuk ezt az egyenletet. A folyadékkiáramlás arányos R 4 -gyel (R = cső sugara). A fecskendő vagy a cső ujjainak sugarát gondosan ki kell számítani. Például, ha megduplázzuk a tű sugarát (rx 2), a permetezett folyadékmennyiség = 16-szorosára növeli a hüvelykujj összenyomó erejét.
A Poiseuille-egyenlet azt is mutatja, hogy a sugár (r 4 ) fordítottan arányos a cső két vége közötti nyomáskülönbséggel. Például a vér először egy olyan véredényben áramlik, amelynek belső sugara r. Ha az artériák szűkülnek (pl. r/2 = a vérerek sugara a kétszeresére csökken),
akkor 16-szoros nyomáskülönbségre van szükség ahhoz, hogy a vér a korábbiakhoz hasonlóan áramoljon (így az áramlási sebesség állandó legyen).
