Cikk a Bernoullis-elvről és a Bernoullis-egyenletről
Amikor motorozunk, a ruháink hátrafelé dagadnak. Néha, ha erősen fúj a szél, az ajtó magától becsukódhat. Pedig a szél kint fúj a házon belül, míg az ajtó bent van.
Ez Bernoulli elvével magyarázható. Daniel Bernoulli (1700-1782) felfedezett egy elvet, amely a fenti jelenség magyarázatára használható.
Bernoulli elve
Bernoulli elve kimondja, hogy ahol nagy a folyadék áramlási sebessége, ott a folyadék nyomása alacsony. Fordítva, ha a folyadék áramlási sebessége alacsony, a folyadék nyomása magas. Amikor egy motorkerékpár gyorsan mozog, a tested elején és oldalán a légsebesség magas. Így a légnyomás alacsony lesz. A tested hátsó részét a tested eleje akadályozza, így a légsebesség a tested hátsó részén nem lesz magas. Ennek eredményeként a tested hátsó részében a légnyomás megnő. Mivel légnyomáskülönbség van, ahol a test hátsó részén a légnyomás magasabb, mint a levegő, a tested hátranyomja az ingedet, így a ruháid hátrafelé puffadtnak tűnnek.
Mi a helyzet azzal a házajtóval, amelyik magától bezáródik, amikor a szél kifelé fúj a házon kívül? A házon kívüli levegő gyorsabban mozog, mint a házon belüli. Ennek eredményeként a házon kívüli légnyomás kisebb, mint a házon belüli. Mivel nyomáskülönbség van, ahol a házon belüli légnyomás nagyobb, az ajtó kifelé tolódik. Más szóval, az ajtólap egy olyan helyről mozdul el, ahol nagy a légnyomás, egy olyan helyre, ahol kicsi.
Bernoulli-egyenlet
Korábban már tanultunk Bernoulli elvéről. Bernoulli kvantitatív módon is kidolgozta az elvet. A Bernoulli-egyenlet levezetéséhez feltételezzük, hogy a folyadék áramlása állandó és lamináris, összenyomatlan, a viszkozitása minimális, így elhanyagolható.
A folytonossági egyenlet tárgyalása során megtudtuk, hogy a folyadék áramlási sebessége az áramlási cső áramlási területétől is függhet. A fent leírt Bernoulli-elv alapján a folyadék nyomása a folyadék áramlási sebességétől is függhet. A folyadék nyomása a folyadék magasságától is függhet. A nyomás, az áramlási sebesség és az áramlási magasság közötti összefüggés a Bernoulli-egyenletben található.
A Bernoulli-egyenlet kritikus fontosságú, mivel felhasználható repülőgépek repülésének, vízerőművek, csővezeték-rendszerek stb. elemzésére. Ahhoz, hogy a Bernoulli-egyenletet általánosságban levezethessük, feltételezzük, hogy a folyadék egy nem azonos keresztmetszetű, és a magassága is eltérő áramlási csövön áramlik keresztül. A Bernoulli-egyenlet levezetéséhez a munka és az energia tételét alkalmazzuk az áramlási csőben lévő folyadékra.
Az alábbi ábrán az áramlási csőben az átlátszatlan szín folyadékáramlást mutat, míg a fehér szín nem mutat folyadékot.
Az 1-es keresztmetszeti területen (bal oldal) lévő folyadék az L 1- ig áramlik, és a 2-es szakaszban (jobb oldal) lévő folyadékot az L 2- ig kényszeríti . Mivel a jobb oldali 2-es keresztmetszeti terület kisebb, a folyadék áramlási sebessége az áramlási cső jobb oldalán nagyobb (emlékezzünk a folytonossági egyenletre). Ez nyomáskülönbséget okoz a 2-es szakasz (az áramlási cső jobb oldala) és az 1-es szakasz (az áramlási cső bal oldala) között – Emlékezzünk Bernoulli elvére. Az 1-es szakasztól balra lévő folyadék nyomást (P 1 ) fejt ki a jobb oldali folyadékra, és munkát végez:
Ekkor a W1 egyenlet felírható:
W1 = p1A1L1
A 2. szakaszban (az áramlási cső jobb oldalán) a folyadékon végzett munka:
W² = −p²A²L²
A negatív előjel azt jelzi, hogy az alkalmazott erő ellentétes a mozgásirányral. Tehát a folyadék a 2-es keresztmetszettől jobbra munkát végez. Továbbá a gravitációs erő is munkát végez a folyadékon. A fenti esetben bizonyos folyadéktömegek átkerülnek az 1-es szakaszból L 1 -ig a 2-es szakaszba L 2 -ig , ahol a folyadék térfogata az 1-es szakaszban (A 1 L 1 ) = a folyadék térfogata a 2-es szakaszban (A 2 L 2 ). A gravitáció által végzett munka:
W3 = − mg( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mg/ h1 − mg / h2
A negatív előjelet a folyadék felfelé áramlása okozza, a gravitációs iránytól eltérően. Így a folyadékon végzett nettó munka:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
A munka-energia tétele kimondja, hogy egy rendszeren végzett nettó munka megegyezik a mozgási energia változásával. Így a munkát (W) helyettesíthetjük a mozgási energia változásával (EK 2 – EK 1 ).
A fenti egyenlet újra felírható:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Az L-ig áramló folyadéktömeg1 az A keresztmetszetben1 = az L-ig áramló folyadék tömege2 (A keresztmetszet2). A folyadék tömegének, mondjuk m-nek, a térfogata A.1 L1 és A2 L2 ahol A1 L1 =A2 L2 (L2 hosszabb, mint L1).
Most helyettesítsük be m-et a fenti egyenletben m = ρ AL-lal:
Ez a Bernoulli-egyenlet. A Bernoulli-egyenlet a munka-energia elvéből származik, így az energiamegmaradás egyik formája.
P = nyomás, ρ = sűrűség, v = a folyadék sebessége, g = a nehézségi gyorsulás, h = a cső magassága a talaj felett.
A fenti Bernoulli-egyenlet bal és jobb oldali szakasza az áramlási cső bármely pontjára vonatkozhat, így a fenti egyenletet a következőképpen írhatjuk át:
Most tekintsük át Bernoulli egyenletét néhány esetre.
Bernoulli egyenlete statikus folyadékokban
A Bernoulli-egyenlet speciális esete a statikus folyadék, ahol a folyadéknak nincs sebessége. Így v 1 = v 2 = 0. Statikus folyadék esetén a Bernoulli-egyenlet a következőképpen fogalmazható meg:
Ha h² – h1 = h, akkor az egyenlet a következőképpen írható fel:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoulli egyenlete azonos magasságú csövön
Ha a cső magassága azonos, a Bernoulli-egyenlet a következőképpen módosul:
