Poiseuille-egyenletnek nevezik, mivel a néhai Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869) fedezte fel. Ahogy kifejtettük, minden folyadék ideális folyadéknak tekinthető. Az ideális folyadékoknak nincs viszkozitásuk. Ha elképzelünk egy ideális folyadékot, amely egy csőben áramlik, a folyadék minden része azonos sebességgel (v) mozog. Az ideális folyadékokkal ellentétben a valódi folyadékok, vagyis a mindennapi életben előforduló folyadékok viszkozitással rendelkeznek. Mivel viszkozitással rendelkeznek, például csőben áramló folyadék egyes részeinek sebessége változik. A középső folyadékréteg gyorsabban mozog (v nagy), míg a csőhöz tapadó folyadékréteg nem mozog, azaz mozdulatlan (v = 0). Tehát a cső közepétől a széléig a folyadék minden része különböző sebességgel mozog. A könnyebb megértés érdekében figyelje meg az alábbi képet…
Információ:
R = a cső/cső sugara
v 1 = a folyadék áramlási sebessége a cső középpontjában/tengelyében
v 2 = a folyadék áramlási sebessége a cső szélétől r 2 távolságra
v 3 = a folyadék áramlási sebessége a cső szélétől r 3 távolságra
v 4 = a folyadék áramlási sebessége a cső szélétől r 4 távolságra
r = távolság
Annak érdekében, hogy az egyes folyadékok áramlási sebessége azonos legyen, nyomáskülönbségnek kell lennie minden olyan cső vagy csővezeték mindkét végén, amelyen a folyadék áramlik. Folyadék alatt itt valódi folyadékokat értünk, például csövön áramló vizet vagy olajat, vért az erekben áramló vért stb. A valódi folyadékok zavartalan áramlásának elősegítése mellett a nyomáskülönbségek lehetővé teszik a folyadékok különböző magasságú csövekben történő áramlását is.
Jean Louis Marie Poiseuille, az emberi vérkeringés fizikai vonatkozásai iránt érdeklődő egykori francia tudós kutatásokat végzett annak vizsgálatára, hogy az olyan tényezők, mint a nyomáskülönbség, a cső keresztmetszeti területe és a cső mérete, hogyan befolyásolják a valódi folyadék sebességét. Az általa kapott eredményeket Poiseuille-egyenletnek nevezzük.
A Poiseuille-egyenlet a korábban levezetett viszkozitási együttható egyenlet felhasználásával levezethető. A viszkozitási egyenletet azért használjuk, mert az eset hasonló, bár nem azonos. A viszkozitási együttható egyenlet levezetésekor egy valós folyadékréteg áramlását vesszük figyelembe két párhuzamos lemez között, és a folyadék a húzóerő (F) miatt képes mozogni. A különbség az, hogy a levezetett Poiseuille-egyenlet valójában azokat a tényezőket adja meg, amelyek befolyásolják egy valós folyadék áramlását egy csőben/csővezetékben, és a folyadék nyomáskülönbségek miatt áramlik. Ezért a viszkozitási együttható egyenletet ismét módosítani kell.
A folyadékok nyomáskülönbség miatt áramolhatnak (a folyadékok nagy nyomású helyekről alacsony nyomású helyekre áramlanak), ezért az F-et p 1 – p 2 -vel helyettesítjük (p 1 > p 2 ).
A viszkozitási együttható egyenletének levezetésekor egy valós folyadékréteg áramlását vesszük figyelembe két párhuzamos lemez között. A folyadék minden egyes része szabályos sebességváltozást tapasztal l távolsággal. Ebben az esetben a folyadék áramlási sebessége szabályosan változik a cső tengelyétől a cső széléig. A cső tengelyénél lévő folyadék nagyobb sebességgel (v) áramlik. Minél távolabb haladunk a széle felé, annál csökken a folyadék sebessége. A cső sugara = a cső tengelye és a cső széle közötti távolság = R. A folyadék egyes részei és a cső széle közötti távolság = r. Mivel a folyadék egyes részeinek száma nagyon nagy, és a cső szélétől való távolságuk is változik, egyszerűen így írjuk fel:
v 1 = a folyadék sebessége a cső szélétől r1 távolságra (r1 = R)
v² = a folyadék sebessége a cső szélétől r² távolságban (r² < r¹)
v3 = a folyadék sebessége a cső szélétől r3 távolságra (r3 < r2 < r1)
v 4 = a folyadék sebessége a cső szélétől r4 távolságra (r4 < r3 < r2 < r1)
……………………………………… ..
vn = a folyadék sebessége a cső szélétől rn távolságra (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
A folyadék egyes részeinek száma nagyon nagy, és azt sem tudjuk pontosan, hogy valójában mennyi, ezért elég n-nel írni. A folyadék minden része rendszeresen sebességváltozást (v) tapasztal a cső tengelyétől (r1 = R) a cső széléig (rn). A cső tengelyétől (r1 = R) a cső széléig (rn) a folyadék minden részének sebessége csökken (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
A fenti magyarázatból arra következtethetünk, hogy R-től rn-ig a folyadék sebessége csökken. A cső hossza = L. A kapott egyenlet a következő:
Mivel a folyadék áramlási sebességét (v) vizsgáljuk, a 2. egyenlet a következőképpen alakul:
Ez az egyenlet a folyadék áramlási sebességét írja le r távolságra egy R sugarú csőtől. Ha összezavarodtál a fenti kép nézése közben... Vedd figyelembe, hogy a folyadék csőben áramlik, ezért át kell tekintenünk a folyadék térfogatáramát.
A cső belsejében egy folyadék található. Például a folyadékot nagyon apró darabokra osztjuk, ahol minden darab egységnyi dA felülettel rendelkezik, távol van a cső tengelyétől, és v áramlási sebességgel rendelkezik. Matematikailag ez a következőképpen írható fel:
dA1 = 1. folyadékszakasz, amely 1 egységnyi távolságra van a cső tengelyétől
dA2 = 2. folyadékszakasz, amely 2 egységnyi távolságra van a cső tengelyétől
dA3 = 3. folyadékszakasz, amely 3 egységnyi távolságra van a cső tengelyétől
..................................
dA n = folyadék keresztmetszete n, amely a cső tengelyétől mért dA n távolság
Annyi folyadékdarab van, hogy kényelmes egyszerűen n-nel írni őket. Az egyes folyadékdarabok térfogatárama matematikailag a következőképpen írható fel:
Minden folyadékdarab r = 0 és r = R közötti távolságra van egymástól (R = a cső sugara). Más szóval, az egyes folyadékdarabok távolsága a cső tengelyétől mérve változik. Ha a számítással (integrálással) játszunk, megkapjuk a csőben lévő folyadék térfogatáramának egyenletét:
Információ:
Q = Bankkártya
R = Cső belső sugara
η = Viszkozitási együttható
P1 – p2 = Nyomáskülönbség a cső két vége között
L = Csőhossz
p1 -p2 /L = Nyomásgradiens ( a folyadék áramlása mindig a csökkenő nyomás irányába halad)
A fenti Poiseuille-egyenlet alapján úgy tűnik, hogy a folyadék térfogatárama, más néven kiáramlás (Q), arányos a cső sugarának negyedik hatványával (R 4 ), a nyomásgradienssel (p 2 – p 1 /L), és fordítottan arányos a viszkozitással. Ha a cső sugarát növeljük (a viszkozitási együttható és a nyomásgradiens állandó marad), akkor a folyadék áramlási sebessége 16-szorosára nő.
A csövek, fecskendők és egyéb dolgok tervezésének alapkoncepciója ezt az egyenletet használja. A folyadék áramlási sebessége arányos R 4 -gyel (R = a cső sugara). A fecskendő vagy a cső sugarát gondosan kell kiszámítani. Például, ha megduplázzuk a tű sugarát (r x 2), akkor a permetező folyadék áramlási sebessége 16-szorosára növeli a hüvelykujj nyomóerejét.
A Poiseuille-egyenlet azt is mutatja, hogy a sugár negyedik hatványa (r 4 ) fordítottan arányos a cső két vége közötti nyomáskülönbséggel. Például kezdetben a vér egy r belső sugarú érben áramlik. Ha az ér szűkül (például r / 2 = az ér belső sugara a 2-szeresére csökken), akkor 16-szoros nyomáskülönbségre van szükség ahhoz, hogy a vér a korábbiakhoz hasonlóan áramoljon (így a kiáramlási vagy vértérfogat-áramlási sebesség állandó marad).
