Példakérdések és megbeszélés: Egyedi adatok varianciája és szórása
A statisztika a matematika egyik ága, amely az adatok gyűjtésével, elemzésével, értelmezésével, bemutatásával és rendszerezésével foglalkozik. A statisztika két fontos fogalma a variancia és a szórás. Ez a cikk részletesen tárgyalja, hogyan lehet kiszámítani egyetlen adathalmaz varianciáját és szórását több példafeladaton keresztül.
A variancia és a szórás megértése
A variancia egy olyan mérőszám, amely számszerűsíti, hogy egy adathalmazban lévő számok mennyire térnek el az átlagtól vagy átlagtól. A varianciát az eredeti adatok négyzetes egységeiben fejezik ki, ami gyakran megnehezíti az értelmezését.
A szórás a variancia négyzetgyöke. Intuitívabb mérőszámot ad arra vonatkozóan, hogy az adatok általában mennyire térnek el az átlagtól, mivel a mértékegységei megegyeznek az adatok eredeti mértékegységeivel.
Általános képlet
Egyedi adatok esetén a populáció varianciájának \( \sigma^2 \) és szórásának \( \sigma \) képlete a következő:
1. Variancia (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Szórás (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Di mana:
– \(N \) az adatok száma a populációban.
– \(x_i \) az i-edik adatérték.
– \( \mu \) az adatok átlaga vagy átlagértéke.
Ha kiszámítjuk a minta varianciáját és szórását, akkor a fenti képlet kissé módosul:
1. Mintavételi variancia (s²):
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Minta szórása(i):
\(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \) } } } (Megjegyzés: Ez a kódrészlet valószínűleg egy grafikont mutat, de ebben az esetben a kódrészlet valószínűleg egy grafikont tartalmaz.)
Di mana:
– \(n \) a mintában lévő adatok száma.
– \( \bar{x} \) a minta átlaga vagy átlagértéke.
Contoh Soal és Tanulás
1. példakérdés:
A következő adatok alapján:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Számítsd ki az adatok varianciáját és szórását!
Megoldási lépések:
1. Az átlag (mean) kiszámítása \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Számítsa ki az adatok és az átlag közötti különbséget, majd emelje négyzetre:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Az összes négyzetre emelt eredmény összeadása:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. A populációs adatok varianciájának (σ²) kiszámítása:
\[
ηρ² = ηρ² = 3.559
\]
Megjegyzés: Mivel ez az adat népességi adatként van megadva, 6-tal osztjuk.
5. A szórás (σ) kiszámítása:
\[
∫πρ = ∫qrt{3.559} \kb. 1.886
\]
Tehát az adatok varianciája 3.559, a szórás pedig 1.886.
2. példakérdés:
A következő mintaadatokat figyelembe véve:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Számítsd ki a minta varianciáját és szórását!
Megoldási lépések:
1. Az átlag (mean) kiszámítása \( \bar{x} \):
\[
η = η 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = η 49}{6} = 8.167
\]
2. Számítsa ki az adatok és az átlag közötti különbséget, majd emelje négyzetre:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Az összes négyzetre emelt eredmény összeadása:
\[
∫(x_i – ∫(x))^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. A minta varianciájának (s²) kiszámítása:
\[
s^2 = ∫\frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Megjegyzés: Mivel ez egy mintaadat, ezért 5-tel osztjuk (n-1).
5. A szórás(ok) kiszámítása:
\[
s = ∫qrt{5.351} \kb. 2.313
\]
Tehát a mintaadatok varianciája 5.351, a szórás pedig 2.313.
Következtetés
A variancia és a szórás kiszámítása elengedhetetlen annak megértéséhez, hogy az adatok hogyan szóródnak egy adott halmazon belül. Míg a variancia az eredeti egységek négyzetében kifejezett szórás elméleti mértékét adja, a szórás a szórás mértékét az adatok eredeti egységeiben értelmezi, így könnyebben érthető. Az adatelemzés során ezt a két mértéket gyakran használják az adatok változékonyságának felmérésére és statisztikai döntések meghozatalára.
A szükséges lépések és képletek megértésével könnyen kiszámíthatjuk a varianciát és a szórást a mindennapi adatgyűjtés és -elemzés során előforduló különféle helyzetekben. Remélhetőleg ez a cikk mélyebb megértést nyújt a variancia és a szórás fogalmáról egyetlen adathalmaz esetében.
