Példakérdések az eredő elektromos erőről
Az elektromosság egy olyan energiaforma, amely kulcsfontosságú a mindennapi életünkben. Az elektromos fizika egyik alapvető fogalma a Coulomb-erő, amely az elektromos töltések közötti kölcsönhatást írja le. Az eredő elektromos erő megértése számos alkalmazásban kulcsfontosságú, az elektronikai technológiától az univerzumban zajló jelenségek megértéséig. A következőkben részletesen tárgyaljuk a példafeladatokat és azt, hogyan lehet meghatározni az eredő elektromos erőt.
Bevezetés a Coulomb-erő fogalmába
Mielőtt belemennénk a példafeladatba, nézzük át Coulomb törvényét. Coulomb törvénye kimondja, hogy két pontszerű töltés közötti elektrosztatikus erő arányos a nagyságuk szorzatával, és fordítottan arányos a köztük lévő távolság négyzetével. Matematikailag a Coulomb-erő (F) a következőképpen fejezhető ki:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Di mana:
– \(F \) az elektrosztatikus erő nagysága.
– η Coulomb-állandó, η kb. 8,99 szorozva 10^9-cel, Nm^2/C^2).
– \(q_1 \) és \(q_2 \) a töltések nagyságrendjei.
– \(r \) a töltések közötti távolság.
Contoh Soal és Tanulás
1. kérdés: Két töltés egyenes vonalban
Két pontszerű töltés, \(q_1 = 4 \mu C \) és \(q_2 = -3 \mu C \) 3 cm távolságra helyezkedik el egymástól. Számítsd ki a két töltés között ható Coulomb-erő nagyságát és irányát!
Vita:
Az első lépés a töltés és a távolság átszámítása SI mértékegységbe:
– \(q_1 = 4 \szor 10^{-6} C \)
– \(q_2 = -3 \szor 10^{-6} C \)
– \(r = 3 × 10^{-2} m \)
Coulomb törvényének egyenletét használva:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Ismert értékek helyettesítése:
\[ F = (8,99 × 10^9) \frac{(4 × 10^{-6})(3 × 10^{-6})}{(3 × 10^{-2})^2} \]
Számítsa ki az erő nagyságát:
\[ F = (8,99 ⋅ 10^9) \frac{12 ⋅ 10^{-12}}{9 ⋅ 10^{-4}} \]
\[ F = (8,99 szor 10^9) szor (1,33 szor 10^{-8}) \]
\[ F = 1,197 \szor 10^2 \]
\[ F = 119,7 \, N \]
Az erő iránya: Mivel \(q_1 \) pozitív és \(q_2 \) negatív, az erő vonzó. Tehát a \(q_1 \)-re ható erő \(q_2 \) felé irányul, és fordítva.
2. kérdés: Három töltés egy egyenlő oldalú háromszögben
Három, egyenként q = 2 \mu C töltést helyezünk egy 5 cm oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszög csúcsaiba. Számítsd ki az egyes töltésekre ható eredő erőt!
Vita:
Töltés és távolság átszámítása SI mértékegységbe:
– \(q = 2 \szor 10^{-6} C \)
– \(r = 5 × 10^{-2} m \)
Két töltés közötti erő:
\[ F = k_e \frac{q^2}{r^2} \]
Ismert értékek helyettesítése:
\[ F = (8,99 × 10^9) \frac{(2 × 10^{-6})^2}{(5 × 10^{-2})^2} \]
\[ F = (8,99 ⋅ 10^9) \frac{4 ⋅ 10^{-12}}{25 ⋅ 10^{-4}} \]
\[ F = (8,99 szor 10^9) szor (1,6 szor 10^{-10}) \]
\[ F = 1,4384 N \]
Ez az erő a háromszög minden egyes töltéspárjára hat. Ahhoz, hogy megtaláljuk az egyes töltésekre ható eredő erőt, elemezni kell a háromszög merőleges és ferde irányában az egyes töltésekre ható két erő erővektorait.
Tegyük fel, hogy az \(A \) pontban lévő töltés erőket kap \(B \) és \(C \) felől:
– A \(B \)-től \(A \)-ig ható erő \(F_{AB} = 1,4384 \, N \).
– A \(C \)-től \(A \)-ig ható erő \(F_{AC} = 1,4384 \, N \).
Mivel ez a két erő 60°-os szöget zár be egymással (az egyenlő oldalú háromszög miatt), vektorkomponens-analízissel meghatározhatjuk az eredő erőt.
Az x és y tengelyen ható erő összetevői:
\[ F_{Ax} = F_{AB} \cos 30^\circ + F_{AC} \cos 30^\circ \]
\[ F_{Ay} = F_{AB} \sin 30^\circ – F_{AC} \sin 30^\circ \]
Mivel azonban mindkét erő szimmetrikus és pontosan egyenlő mindkét oldalon, az összes y komponens kiegyenlíti egymást, és a töltést (A) gyakorlatilag csak a közbensőleg ható vízszintes erő befolyásolja.
\[
F_{Ax} = 2F_{AB} \cos 30^\circ \\
= 2(1,4384 \ N \cdot \ 0,866) \\
= 2 \cdot 1.2467 \\
= 2.4934, N
]
Tehát az egyik töltésre ható elektromos erő \(F = 2.4934 N.
Következtetés
A pontszerű töltések rendszerében az eredő elektromos erő meghatározásához alapos ismeretekre van szükség Coulomb törvényéhez, valamint az erővektor összetevőire bontásának képességéhez. Összetettebb, három vagy több töltést tartalmazó helyzetekben a vektoranalízis gyakran kulcsfontosságú eszköz a pontos eredmények eléréséhez. Az ilyen gyakorlófeladatokon keresztül hatékonyabban megérthetjük és alkalmazhatjuk a fizikai fogalmakat.
