Példa a csoportadatok percentiliseit megvitató kérdésekre
A percentilis a statisztikákban a pozíció mértéke, amelyet az adateloszlás megértésére használnak. Ebben a cikkben részletesen tárgyaljuk, hogyan határozhatók meg a percentilis csoportosított adatok esetén. Számos példafeladatot és azok magyarázatát is bemutatjuk a koncepció tisztázása érdekében. Kezdjük a percentilis alapvető megértésével, majd térjünk át a példákra és azok magyarázataira.
A percentilisek megértése
A percentilis egy olyan érték, amely az adatokat 100 egyenlő részre osztja. Vagyis az n-edik percentilis az az érték, amely alá az eloszlásban az adatok n%-a esik. Például, ha az adatok a 25-ös percentilisben vannak (P25), az azt jelenti, hogy az adatok 25%-a esik ezen érték alá.
Csoportosított adatok esetén gyakran használunk gyakorisági eloszlási táblázatokat az adatok rendszerezésére, majd a releváns percentilisek meghatározására. Ezek a táblázatok meghatározott osztályintervallumokban jelenítik meg az adatokat, lehetővé téve számunkra, hogy átfogóbban megértsük az adateloszlást.
Percentilis képlet a csoportadatokban
A csoportadatok n-edik percentilisének (Pn) meghatározására szolgáló általános képlet a következő:
\[
P_n = L + ∫(\frac{nN – ∫f_{\text{before}}}{f_{k}}) ∫c
\]
Di mana:
– \(P_n\) az n-edik percentilis.
– \(L\) a percentilis osztályintervallum alsó széle.
– \(n\) a kívánt percentilis (pl. P25 esetén n = 25).
– \(N\) az összesített gyakoriságok teljes száma.
– \(\sum f_{\text{before}}\) a percentilis osztályintervallum előtti kumulatív gyakoriság.
– \(f_{k}\) a percentilis osztályintervallum gyakorisága.
– \(c\) az osztályintervallum hossza.
Problémákra példa
A jobb megértés érdekében nézzük meg a következő példakérdést, és beszéljük meg részletesebben.
1. példakérdés
Egy felmérésben 100 tizedik osztályos középiskolás diák magasságára (cm-ben) vonatkozó adatokat gyűjtöttek a következőképpen:
| Osztályintervallum | Gyakoriság |
|——————-|———–|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 8 |
| 160 – 164 | 12 |
| 165 – 169 | 20 |
| 170 – 174 | 30 |
| 175 – 179 | 15 |
| 180 – 184 | 10 |
Számítsd ki az adatok 40. percentilisét (P40).
Megoldási lépések
1. Határozza meg az egyes osztályok kumulatív gyakoriságát:
| Osztályintervallum | Gyakoriság | Kumulatív gyakoriság |
|——————-|—————–|—————————|
| 150 – 154 | 5 | 5 |
| 155–159 | 8 | 13 |
| 160 – 164 | 12 | 25 |
| 165 – 169 | 20 | 45 |
| 170 – 174 | 30 | 75 |
| 175 – 179 | 15 | 90 |
| 180 – 184 | 10 | 100 |
2. Határozza meg a percentilis osztályintervallumot (P40):
Mivel a P40-et keressük, a 100 diák 40%-ára van szükségünk, ami 40 diákot jelent. A kumulatív gyakorisági táblázatot nézve azt találjuk, hogy 40 diák található a 165–169 cm-es osztályintervallumban, mivel a 45 az első kumulatív gyakoriság, amely meghaladja a 40-et.
3. Keresse meg a szükséges értékeket a képletben:
– \(H = 164.5\)
– \(nN = 40\)
– \(\f_{\text{előtte}} = 25\)
– \(f_k = 20\)
– \(c = 5\)
4. Írja be az értékeket a képletbe:
\[
P_{40} = 164.5 + (\frac{40 – 25}{20}) szorozva 5-tel
\]
\[
P_{40} = 164.5 + ∫(15}{20}) ⋅ 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 0.75 szorozva 5-tel
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 3.75
\]
\[
P_{40} = 168.25
\]
Tehát az adatok 40. percentilis (P40) 168.25 cm.
2. példakérdés
Tegyük fel, hogy van egy 200 fős diákcsoport matematikai teszteredményadata:
| Osztályintervallum | Gyakoriság |
|——————-|———–|
| 40 – 44 | 10 |
| 45 – 49 | 18 |
| 50 – 54 | 32 |
| 55 – 59 | 45 |
| 60 – 64 | 50 |
| 65 – 69 | 25 |
| 70 – 74 | 12 |
| 75 – 79 | 8 |
Számítsd ki az adatok 75. percentilisét (P75).
Megoldási lépések
1. Határozza meg az egyes osztályok kumulatív gyakoriságát:
| Osztályintervallum | Gyakoriság | Kumulatív gyakoriság |
|——————-|—————–|—————————|
| 40 – 44 | 10 | 10 |
| 45 – 49 | 18 | 28 |
| 50 – 54 | 32 | 60 |
| 55 – 59 | 45 | 105 |
| 60 – 64 | 50 | 155 |
| 65 – 69 | 25 | 180 |
| 70 – 74 | 12 | 192 |
| 75 – 79 | 8 | 200 |
2. Határozza meg a percentilis osztályintervallumot (P75):
Mivel a P75-öt keressük, a 200 diák 75%-ára van szükségünk, ami 150 diákot jelent. Az összesített gyakoriságot tekintve azt találjuk, hogy 150 diák esik a 60–64-es osztályintervallumba.
3. Keresse meg a szükséges értékeket:
– \(H = 59.5\)
– \(nN = 150\)
– \(\f_{\text{előtte}} = 105\)
– \(f_k = 50\)
– \(c = 5\)
4. Írja be az értékeket a képletbe:
\[
P_{75} = 59.5 + (\frac{150 – 105}{50}) szorozva 5-tel
\]
\[
P_{75} = 59.5 + ∫(45}{50}) ⋅ 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 0.9 szorozva 5-tel
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 4.5
\]
\[
P_{75} = 64
\]
Tehát az adatok 75. percentilis (P75) 64.
Következtetés
Ebben a cikkben azt tárgyaltuk, hogyan határozhatjuk meg a percentiliseket csoportosított adatok esetén képletek és számos példafeladat segítségével. A percentilisek hasznos eszközök a statisztikában az adateloszlás megértéséhez és az adatértékek relatív pozíciójának meghatározásához. A csoportosított adatok percentiliseinek kiszámításának megértésével átfogóbban elemezhetjük az adatokat. Reméljük, hogy ezek a példafeladatok és a megbeszélés segítettek jobban megérteni a percentilis fogalmát a csoportosított adatokban.
