Példakérdések a Coulomb-törvény megvitatásával kapcsolatban
A Coulomb-törvény a fizika egyik alapelve, amely két elektromos töltés között ható erőt magyarázza. Az elektrosztatika területén belül tanulmányozva ez a törvény megmagyarázza, hogyan vonzzák vagy taszítják egymást az elektromos töltések. Ezt a törvényt először a francia fizikus, Charles-Augustin de Coulomb javasolta a 18. században. Ez a cikk Coulomb-törvényét tárgyalja példák és megoldásaik vizsgálatával, így segítve az olvasókat megérteni ennek az alapelvnek a gyakorlati alkalmazásait.
Elméleti alap: Mi a Coulomb-törvény?
Coulomb törvénye kimondja, hogy két ponttöltés, q_1 és q_2 között ható elektrosztatikus erő nagysága (F) egyenesen arányos a két töltés nagyságának szorzatával, és fordítottan arányos a köztük lévő távolság négyzetével (r). Matematikailag a Coulomb törvényének képlete a következőképpen fejezhető ki:
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Di mana:
– \(F \) az elektrosztatikus erő nagysága
– ∫k_e₀ Coulomb-állandó (∫8.9875₀ ⋅ 10^9, Nₜ²⋅ m^2⋅ C^{-2}))
– \(q_1 \) és \(q_2 \) az elektromos töltés nagyságai
– \(r \) a két töltés közötti távolság
1. példakérdés
Kérdés:
Két pontszerű töltés van: \(q_1 = 2 \× 10^{-6} \, C \) és \(q_2 = -3 \× 10^{-6} \, C \). 0,05 méter távolságra vannak egymástól. Számítsd ki a két töltés között ható elektrosztatikus erő nagyságát.
Megbeszélés:
Az első lépés Coulomb törvényének képletének átírása:
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Most helyettesítsük be az ismert értékeket a képletbe:
\[k_e = 8.9875 szorozva 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[q_1 = 2 \szor 10^{-6} \, C \]
\[q_2 = -3 \szor 10^{-6} \, C \]
[ r = 0,05 , m ]
Ezeket az értékeket beillesztjük a képletbe:
\[ F = 8.9875 ∈ 10^9, \frac{|2 ∈ 10^{-6} \cdot -3 ∈ 10^{-6}|}{(0,05)^2} \]
\[ F = 8.9875 ⋅ 10^9, \frac{6 ⋅ 10^{-12}}{0,0025} \]
\[ F = 8.9875 × 10^9 \, \frac{6 × 10^{-12}}{2,5 × 10^{-3}} \]
\[ F = 8.9875 szorozva 10^9-cel, \szorozva 2,4-tel szorozva 10^{-9}}
\[ F = 21.57 \, N \]
Mivel a \(q_2 \) töltés negatív, a ható elektrosztatikus erő vonzóerő, mivel a pozitív és negatív töltések vonzzák egymást.
2. példakérdés
Kérdés:
Két elektromos töltés (q_1 = 5 × 10^{-9} \, C \) és (q_2 = 10 × 10^{-9} \, C \) 0,1 méter távolságra van egymástól. Számítsa ki a (q_1 \) töltésre ható elektrosztatikus erő nagyságát.
Megbeszélés:
Használd újra a Coulomb-törvény képletét:
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Helyettesítsd be az ismert értékeket:
\[k_e = 8.9875 szorozva 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[q_1 = 5 \szor 10^{-9} \, C \]
\[q_2 = 10 \szor 10^{-9} \, C \]
[ r = 0,1 , m ]
\[ F = 8.9875 × 10^9 \, \frac{(5 × 10^{-9}) (10 × 10^{-9})}{(0,1)^2} \]
\[ F = 8.9875 ⋅ 10^9, \frac{50 ⋅ 10^{-18}}{0,01} \]
\[ F = 8.9875 szorozva 10^9-cel, \szorozva 5-tel szorozva 10^{-15}}
\[ F = 44.9375 \, N \]
A működő erő taszító erő, mivel mind a \(q_1 \), mind a \(q_2 \) töltések előjele azonos, mégpedig pozitív.
3. példakérdés
Kérdés:
Három ponttöltés egy egyenes vonalban helyezkedik el. Az első töltés q_1 = 2 \mu C \), a második töltés q_2 = -1 \mu C \), a harmadik töltés pedig q_3 = 3 \mu C \). A q_1 \ és q_2 \ távolsága 0,1 m, míg a q_2 \ és q_3 \ távolsága 0,2 m. Számítsa ki a q_2 \ pontra ható teljes elektrosztatikus erő nagyságát és irányát!
Megbeszélés:
Először kiszámítjuk az elektrosztatikus erőt a q_1 és q_2 között:
\[ F_{12} = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
\[k_e = 8.9875 szorozva 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2} \]
\[q_1 = 2 \szor 10^{-6} \, C \]
\[q_2 = -1 \szor 10^{-6} \, C \]
[ r = 0,1 , m ]
\[F_{12} = 8.9875 × 10^9 \, \frac{(2 × 10^{-6}) (-1 × 10^{-6})}{(0,1)^2} \]
\[F_{12} = 8.9875 × 10^9, \frac{2 × 10^{-12}}{0,01}}]
\[F_{12} = 8.9875 szorozva 10^9-cel, \szorozva 2 szorozva 10^{-10}}]
\[F_{12} = 1.7975 \, N \]
Mivel \(q_1 \) pozitív és \(q_2 \) negatív, az \(F_{12} \) erő egy \(q_1 \) felé irányuló vonzóerő.
Másodszor, kiszámítjuk az elektrosztatikus erőt a q_2 és q_3 között:
\[ F_{23} = k_e \frac{|q_2 \cdot q_3|}{r^2} \]
\[q_2 = -1 \szor 10^{-6} \, C \]
\[q_3 = 3 \szor 10^{-6} \, C \]
[ r = 0,2 , m ]
\[F_{23} = 8.9875 × 10^9 \, \frac{(-1 × 10^{-6}) (3 × 10^{-6})}{(0,2)^2} \]
\[F_{23} = 8.9875 × 10^9, \frac{3 × 10^{-12}}{0,04}}]
\[F_{23} = 8.9875 szorozva 10^9-cel, \szorozva 7.5 szorozva 10^{-11}}]
\[F_{23} = 0.67406 \, N \]
Mivel \(q_2 \) negatív és \(q_3 \) pozitív, az \(F_{23} \) erő egy \(q_3 \) felé irányuló vonzóerő.
Végül mindkét erőt egyesítve kapjuk meg a végeredményt:
Teljes erő a következőn: \(q_2 \):
\[ F_{\text{összesen}} = F_{12} – F_{23} \]
\[ F_{\text{összesen}} = 1.7975 \, N – 0.67406\, N \]
\[ F_{\text{összesen}} = 1.12344 \, N \]
A teljes erő iránya \(q_1 \) felé mutat, mivel az \(F_{12} \) erő nagyobb, mint \(F_{23} \).
Következtetés
Coulomb törvénye fontos betekintést nyújt az elektromos töltések közötti kölcsönhatásokba, mind a vonzó, mind a taszító töltések között. A tárgyalt példák bemutatják a törvény alkalmazását az elektrosztatikus erők kiszámításában, figyelembe véve a töltések nagyságát és a közöttük lévő távolságot. Coulomb törvényének alapos ismerete segíthet megérteni a körülöttünk zajló különféle elektromos és mágneses jelenségeket.
