Példakérdések az elektromos erőről
Az elektromos erő definíciója szerint az az erő, amely az elektromos töltések kölcsönhatásából keletkezik. Ezt az erőt a fizika, különösen az elektrodinamika ága vizsgálja. Az elektromos erő hatásai számos mindennapi jelenségben megfigyelhetők, bizonyos tárgyak egymáshoz dörzsölésétől kezdve az elektronikus eszközök működéséig. Ez a cikk az elektromos erővel kapcsolatos problémák számos példáját és azok megoldásait, valamint az elektromos erővel kapcsolatos főbb fogalmakat tárgyalja.
Bevezetés az elektromos erőbe
Két elektromos töltés közötti elektromos erőt Coulomb törvénye adja meg, amelyet a következő egyenlet fejez ki:
$$ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$
Ahol:
– \(F \) két töltés között ható elektromos erő.
– \(q_1 \) és \(q_2 \) a töltések nagyságrendjei.
– \(r \) a két töltés közötti távolság.
– η a Coulomb-állandó (körülbelül 8.99 × 10^9, N cdot m^2 / C^2).
Coulomb törvénye hasonló Newton gravitációs törvényéhez, de a gravitáció mindig vonzó, míg az elektromos erő a töltés előjelétől függően lehet vonzó vagy taszító.
Contoh Soal és Tanulás
1. kérdés: Két egyenlő terhelés
Két pontszerű töltés, \(q_1 = 3 \, \mu C \) és \(q_2 = -4 \, \mu C \), 0.5 méter távolságra van egymástól. Számítsd ki a két töltés között ható elektromos erőt!
Vita:
1. A terhelés és a távolság azonosítása:
– \(q_1 = 3 \, \mu C = 3 szorozva 10^{-6} \, C \)
– \(q_2 = -4 \, \mu C = -4 \szor 10^{-6} \, C \)
– (r = 0.5, m)
2. Helyettesítés Coulomb törvényébe:
\[
F = k_e ∫q_1 q_2|}{r^2}
\]
\[
F = 8.99 × 10^9, \frac{(3 × 10^{-6})(4 × 10^{-6})}{(0.5)^2}
\]
3. Eredmények kiszámítása:
\[
F = 8.99 ⋅ 10^9, ⋅ 12 ⋅ 10^{-12}}{0.25}
\]
\[
F = 8.99 szor 10^9 szor 48 szor 10^{-12}
\]
\[
F = 431.52 ∫10^{-3} ∫N
\]
\[
F \kb. 0.432 \, N
\]
Tehát a két töltés között ható elektromos erő körülbelül 0.432 Newton.
2. kérdés: Többszörös díjak felszámítása
Három pontszerű töltést, \(q_1 = 2 \, \mu C \), \(q_2 = 3 \, \mu C \) és \(q_3 = -1 \, \mu C \) egy egyenes vonalban helyezünk el úgy, hogy a \(q_1 \) és \(q_2 \) közötti távolság 0.6 méter, a \(q_2 \) és \(q_3 \) közötti távolság pedig 0.4 méter. Számítsd ki a \(q_2 \)-re ható erőt!
Vita:
1. A terhelés és a távolság azonosítása:
– \(q_1 = 2 \, \mu C = 2 szorozva 10^{-6} \, C \)
– \(q_2 = 3 \, \mu C = 3 szorozva 10^{-6} \, C \)
– \(q_3 = -1 \, \mu C = -1 \szor 10^{-6} \, C \)
– A \(q_1 \) és \(q_2 \) közötti távolság 0.6 m
– A \(q_2 \) és \(q_3 \) közötti távolság 0.4 m
2. Erőt fejt ki \(q_1 \)-ra \(q_2 \)-gyel szemben:
\[
F_{12} = k_e ∫q_1 q_2|}{r_{12}^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 ∈ 10^9, \frac{(2 ∈ 10^{-6})(3 ∈ 10^{-6})}{(0.6)^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 szor 10^9, ∫frac{6 szor 10^{-12}}{0.36}
\]
\[
F_{12} = 8.99 szor 10^9 szor 16.67 szor 10^{-12}
\]
\[
F_{12} \kb. 0.15 \, N
\]
Az \(F_{12} \) erő iránya \(q_1 \)-től elfelé (jobbra) mutat.
3. Erőt fejt ki \(q_3 \)-ra \(q_2 \)-gyel szemben:
\[
F_{32} = k_e ∫q_3 q_2|}{r_{32}^2}
\]
\[
F_{32} = 8.99 ∈ 10^9, \frac{(1 ∈ 10^{-6})(3 ∈ 10^{-6})}{(0.4)^2}
\]
\[
F_{32} = 8.99 szor 10^9, ∫frac{3 szor 10^{-12}}{0.16}
\]
\[
F_{32} = 8.99 szor 10^9 szor 18.75 szor 10^{-12}
\]
\[
F_{32} \kb. 0.17 \, N
\]
Az \(F_{32} \) erő iránya \(q_3 \) felé (balra) húz.
4. Eredő erő:
Mivel \( F_{12} \) jobbra, \( F_{32} \) pedig balra van, az eredő erő \( F_{res} = F_{32} – F_{12} \):
\[
F_{res} = 0.17 ∫N – 0.15 ∫N
\]
\[
F_{res} = 0.02 \, N (balra)
\]
Tehát a \(q_2 \)-re ható eredő erő 0.02 Newton balra.
3. kérdés: Terhelési rendszer háromszögben
Három ponttöltést helyezünk el egy 0.2 méter oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszög három csúcsában: \(q_1 = 5 \, \mu C \), \(q_2 = -3 \, \mu C \) és \(q_3 = 4 \, \mu C \). Számítsd ki a töltésre ható teljes elektromos erőt (q_1 \).
Vita:
1. Erőt fejt ki \(q_2 \)-ra \(q_1 \)-gyel szemben:
\[
F_{12} = k_e ∫q_1 q_2|}{r^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 ∈ 10^9, \frac{(5 ∈ 10^{-6})(3 ∈ 10^{-6})}{(0.2)^2}
\]
\[
F_{12} = 8.99 szor 10^9, ∫frac{15 szor 10^{-12}}{0.04}
\]
\[
F_{12} = 8.99 szor 10^9 szor 375 szor 10^{-12}
\]
\[
F_{12} \kb. 3.37 \, N
\]
Az \(F_{12} \) erő iránya vonzó \(q_2 \) irányban.
2. Erőt fejt ki \(q_3 \)-ra \(q_1 \)-gyel szemben:
\[
F_{13} = k_e ∫q_1 q_3|}{r^2}
\]
\[
F_{13} = 8.99 ∈ 10^9, \frac{(5 ∈ 10^{-6})(4 ∈ 10^{-6})}{(0.2)^2}
\]
\[
F_{13} = 8.99 szor 10^9, ∫frac{20 szor 10^{-12}}{0.04}
\]
\[
F_{13} = 8.99 szor 10^9 szor 500 szor 10^{-12}
\]
\[
F_{13} \kb. 4.50 \, N
\]
Az \(F_{13} \) erő iránya taszító \(q_3 \)-tól.
3. Eredő erő:
A vektormódszert kell használnunk az \(F_{12} \) és \(F_{13} \) eredményének meghatározásához, mivel az erők közötti szög 60 fok (egyenlő oldalú háromszög).
Az x és y komponensek felhasználásával meghatározhatjuk a teljes erőt. Az egyszerűség kedvéért azonban grafikus módszereket vagy numerikus számításokat fogunk használni annak megállapítására, hogy a teljes erő nagyobb, mint 4.50 N, és valahol a \(q_2 \) és \(q_3 \) pontokat összekötő egyenes és \(q_1 \) pont között helyezkedik el.
Következtetés
A fenti példafeladat és a fenti megbeszélés segítségével megérthetjük, hogyan számítható ki az elektromos erő Coulomb törvénye alapján. A probléma egyszerűbb lépésekre bontásával és vektoros megfontolások alkalmazásával meghatározhatjuk a rendszerben lévő egyes töltésekre ható teljes erőt. Az elektromos erő, bár matematikai megfogalmazása egyszerű, a valós alkalmazásokban nagyon jelentős és összetett hatásokkal bírhat.
