Példakérdések két, egymást nem kizáró A és B esemény összeadásának szabályáról
Pendahuluan
A valószínűségszámításban kulcsfontosságú az alapfogalmak és alkalmazásuk megértése. Az egyik gyakran felmerülő fogalom a valószínűségi összeadás szabálya. Ebben a cikkben mélyebben beleássuk magunkat két egymást nem kizáró esemény összeadásának szabályába. Nem kizáró események akkor fordulnak elő, ha két eseménynek van egy lehetséges eleme, vagyis mindkét esemény egyszerre történhet. A megértés megkönnyítése érdekében nézzünk meg egy példafeladatot és annak magyarázatát.
Alapelmélet
Ha két olyan eseményünk van, mint A és B, amelyek nem zárják ki egymást, akkor az A vagy B esemény valószínűségének kiszámítására szolgáló összeadási szabály a következőképpen fejezhető ki:
\[ P(A \B csésze) = P(A) + P(B) – P(A \B csésze) \]
Itt:
– P(A, B) annak a valószínűsége, hogy A vagy B (vagy mindkettő) bekövetkezik.
– P(A) annak a valószínűsége, hogy az A esemény bekövetkezik.
– P(B) annak a valószínűsége, hogy a B esemény bekövetkezik.
– P(A ∑B) annak a valószínűsége, hogy A és B egyszerre történik.
Problémákra példa
1. kérdés: Egy iskolában a diákok 70%-a szeret focizni (A esemény), a diákok 40%-a szeret kosárlabdázni (B esemény), és a diákok 20%-a mindkét sportot szereti űzni. Mi a valószínűsége annak, hogy egy diák szeret focizni vagy kosárlabdázni?
Vita:
Ismert:
– \(P(A) = 0.70 \)
– \(P(B) = 0.40 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Két egymást kizáró esemény összeadásának szabályát alkalmazva:
\[ P(A \B csésze) = P(A) + P(B) – P(A \B csésze) \]
\[ P(A \ B csésze) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \B csésze) = 0.90 \]
Tehát annak a valószínűsége, hogy egy diák szeret focit vagy kosárlabdát játszani, 0.90 vagyis 90%.
2. kérdés: Egy felmérésben a válaszadók 35%-a szereti a kávét (A esemény), 50%-a a teát (B esemény), és 10%-a mindkettőt. Mi a valószínűsége annak, hogy egy válaszadó a kávét vagy a teát szereti?
Vita:
Ismert:
– \(P(A) = 0.35 \)
– \(P(B) = 0.50 \)
– \(P(A \cap B) = 0.10 \)
Két egymást kizáró esemény összeadásának szabályát alkalmazva:
\[ P(A \B csésze) = P(A) + P(B) – P(A \B csésze) \]
\[ P(A \ B csésze) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \B csésze) = 0.75 \]
Tehát annak a valószínűsége, hogy egy válaszadó szereti a kávét vagy a teát, 0.75 vagyis 75%.
3. kérdés: Statisztikai adatokból ismert, hogy az emberek 60%-a szeret könyveket olvasni (A esemény), 30%-a szeret filmeket nézni (B esemény), és 15%-a mindkettőt szereti. Mi a valószínűsége annak, hogy valaki szeret könyveket olvasni vagy filmeket nézni?
Vita:
Ismert:
– \(P(A) = 0.60 \)
– \(P(B) = 0.30 \)
– \(P(A \cap B) = 0.15 \)
Két egymást kizáró esemény összeadásának szabályát alkalmazva:
\[ P(A \B csésze) = P(A) + P(B) – P(A \B csésze) \]
\[ P(A \ B csésze) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \B csésze) = 0.75 \]
Tehát annak a valószínűsége, hogy egy személy szeret könyveket olvasni vagy filmeket nézni, 0.75 vagyis 75%.
4. kérdés: Egy étteremben végzett felmérés szerint a vendégek 55%-a pizzát rendelt (A esemény), 35%-a tésztát (B esemény), és 20%-a mindkettőt. Mi a valószínűsége annak, hogy egy vendég vagy pizzát, vagy tésztát rendel?
Vita:
Ismert:
– \(P(A) = 0.55 \)
– \(P(B) = 0.35 \)
– \(P(A \cap B) = 0.20 \)
Két egymást kizáró esemény összeadásának szabályát alkalmazva:
\[ P(A \B csésze) = P(A) + P(B) – P(A \B csésze) \]
\[ P(A \ B csésze) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \B csésze) = 0.70 \]
Tehát annak a valószínűsége, hogy egy vásárló pizzát vagy tésztát rendel, 0.70 vagyis 70%.
Következtetés
A valószínűségszámítás tanulmányozásakor két, egymást nem kizáró A és B esemény összeadásának szabálya nagyon fontos az egyik vagy mindkét esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűségének meghatározásához. A \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) képlet segítségével könnyen kiszámítható két olyan esemény együttes valószínűsége, amelyeknek metszéspontjuk vagy közös elemük van.
A fenti példákon keresztül láthatjuk, hogy a számítás alapvető lépéseinek megértése lehetővé teszi számunkra, hogy különféle helyzetekben alkalmazzuk, legyen szó oktatásról, felmérésekről vagy a mindennapi életről. Az események közös elemeinek felismerésének egyértelműsége és pontossága kulcsfontosságú a valószínűség helyes kiszámításához. Ezért a következetes gyakorlás és az alapfogalmak megértése nagyban segíteni fog a téma elsajátításában.
